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出版者:Addison-Wesley

作者:Demana, Franklin D./ Waits, Bert K./ Foley, Gregory D./ Kennedy, Daniel

出品人:

页数:219

译者:

出版时间:2003-6

价格:$ 37.66

装帧:Pap

isbn号码:9780321132031

丛书系列:

图书标签:

• Precalculus
• Solutions Manual
• Student
• Mathematics
• Higher Education
• Textbook
• Study Guide
• Calculus Preparation
• Problem Solving
• Academic

精选高等数学教材：探索抽象思维的基石 面向数学、工程、物理及计算机科学专业学生 本书旨在提供一套全面、深入、严谨的教材，帮助学生系统地掌握高等数学的核心概念、理论体系及其在各学科中的应用。全书内容涵盖微积分（单变量与多元）、线性代数、微分方程等高等数学领域的核心分支，为读者构建坚实的数学分析基础和解决复杂问题的能力。 --- 第一部分：微积分基础与分析（Volume I: Foundational Calculus and Analysis） 本部分聚焦于单变量微积分的严谨构建，强调极限、连续性、导数和积分的理论基础及其在实际问题中的应用。 第一章：预备知识与函数回顾 本章作为微积分学习的桥梁，系统回顾和强化代数、三角函数、指数与对数函数的性质。重点讨论函数的定义域、值域、复合函数、反函数以及函数的图形分析。引入区间、不等式求解的高级技巧，为后续的极限和连续性概念打下坚实的代数基础。此外，对数列的极限概念进行初步探讨，为后续的级数展开做铺垫。 第二章：极限与连续性 这是整个微积分理论的逻辑起点。本章将严格地定义 $varepsilon-delta$ 语言下的极限概念，确保学生对“无限接近”这一核心思想有深刻的理解。深入分析单侧极限、无穷极限以及函数在特定点和区间上的连续性。重点讲解连续函数的性质，如介值定理（Intermediate Value Theorem）和最值定理（Extreme Value Theorem），并讨论不连续点的分类及其对后续分析的影响。 第三章：导数：变化率的度量 导数的概念将通过斜率和瞬时变化率的几何和物理背景引入。详细推导基本初等函数的求导法则，包括乘法法则、商法则和链式法则。本章的核心在于应用：利用导数进行函数图像的精确描绘（增减性、凹凸性、拐点分析），优化问题（最大值与最小值），以及相关的变化率问题（Related Rates）。同时，引入罗尔定理、均值定理（Mean Value Theorem）及其在不等式证明中的应用。 第四章：积分：累积与面积 本章从黎曼和的概念出发，严谨地定义定积分。详细讨论定积分的性质、微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）的两个部分，这是连接微分与积分的桥梁。随后，系统介绍不定积分的求解技巧，包括变量代换法、分部积分法、三角代换法以及有理函数的部分分式分解法。讨论定积分在几何学中的应用，如计算曲线下面积、旋转体的体积（圆盘法、壳层法）和弧长。 第五章：积分技巧与广义积分 本章深化积分技巧，专注于更复杂的积分类型。系统介绍三角函数的积分、更深入的分部积分应用，以及某些特定积分形式的降阶公式。核心内容扩展到广义积分（Improper Integrals），包括积分限趋于无穷大或被积函数在区间内有不确定的点的情况。通过判定广义积分的收敛性与发散性，为物理和概率论中的应用奠定基础。 第六章：数列、级数与幂级数 本章从离散数学过渡到连续数学的深入分析。首先，对数列的收敛性进行深入探讨。随后，引入级数（无穷级数）的概念，包括调和级数、几何级数。重点学习判别级数收敛性的各种工具：比较检验法、比值检验法、根值检验法、积分检验法。最后，深入研究幂级数，确定其收敛半径和收敛区间。本章的重中之重是泰勒级数和麦克劳林级数的构造与应用，用于函数的局部近似和求解某些微分方程。 --- 第二部分：多元微积分与空间分析（Volume II: Multivariable Calculus and Spatial Analysis） 本部分将微积分的概念扩展到二维和三维空间，为理解物理场、工程结构和高级数学建模做准备。 第七章：空间几何与向量代数 本章为多元微积分奠定几何基础。引入三维直角坐标系，讨论向量在空间中的表示、加法、数乘、点积（内积）和叉积（外积）。详细分析空间直线和平面的方程，向量投影的概念，以及它们在确定角度和距离中的应用。 第八章：偏导数与方向导数 将导数的概念推广到多变量函数。定义偏导数，并探讨其几何意义（曲面上的切线斜率）。深入研究链式法则在多变量情况下的推广。核心内容包括方向导数和梯度向量（Gradient Vector），梯度揭示了函数在空间中增长最快的方向，这在最优化和物理学中至关重要。 第九章：多元函数的极值与拉格朗日乘数法 应用偏导数寻找多元函数在给定区域或约束条件下的最大值和最小值。系统讲解如何识别临界点，并运用二阶偏导数判别法（Hessian 矩阵的应用）来区分局部极小值、局部极大值和鞍点。着重阐述拉格朗日乘数法，这是一种强大且高效的带约束优化问题的求解技术。 第十章：多重积分 本章是本部分的核心，将积分概念推广到二维和三维区域。详细定义累次积分（Iterated Integrals）并阐述富比尼定理（Fubini's Theorem），允许积分顺序的互换。重点介绍在不同坐标系下（极坐标、柱坐标、球坐标）进行二重积分和三重积分的计算方法，这些坐标变换极大地简化了具有对称性的积分问题。多重积分的应用包括计算质量、质心、转动惯量等物理量。 第十一章：向量场与线积分、曲面积分 本章是连接微积分与经典物理学（如电磁学和流体力学）的桥梁。引入向量场、功、保守场和线积分的概念。深入探讨格林公式（Green's Theorem），该公式将平面上的线积分与平面区域上的二重积分联系起来。随后扩展到三维空间中的曲面积分，并阐述斯托克斯定理（Stokes' Theorem）和散度定理（Divergence Theorem，即高斯公式），这些定理是向量分析的基石，展示了积分在不同维度间的深刻联系。 --- 第三部分：线性代数与微分方程（Volume III: Linear Algebra and Differential Equations） 本部分侧重于离散结构、变换以及描述动态系统的数学工具。 第十二章：线性代数基础：矩阵与线性方程组 本章从矩阵的代数运算（加法、乘法、逆矩阵）入手。核心是系统求解线性方程组，深入探讨高斯消元法、行阶梯形矩阵以及矩阵的秩。引入行列式及其性质，并利用行列式来判断矩阵的可逆性。重点分析解空间的结构，包括零空间、列空间和行空间。 第十三章：向量空间与线性变换 从更抽象的角度理解线性代数。严格定义向量空间、子空间、线性组合、张成（Span）、线性无关性、基（Basis）和维数（Dimension）。深入探讨线性变换的几何意义，以及矩阵如何表示这些变换。本章的亮点是特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）的求解及其在对角化问题中的重要性，这对于理解动态系统的稳定性至关重要。 第十四章：常微分方程（ODE） 本章专注于描述变化过程的数学模型——常微分方程。首先，讨论一阶ODE的求解方法，包括变量分离法、精确方程、一阶线性方程（积分因子法）。随后，深入研究常系数线性二阶及更高阶ODE的求解，包括齐次解和特解的求法，以及常数变易法。最后，引入拉普拉斯变换，作为求解非齐次线性ODE（尤其是有阶跃函数或脉冲输入的系统）的强大工具。 第十五章：应用与建模 本章将前述理论应用于实际工程和科学问题。展示如何利用微积分和微分方程建立实际问题的数学模型，如弹簧-质量系统、RLC电路的暂态分析、人口增长模型、化学反应速率等。同时，通过线性代数的视角，解释模型简化和系统稳定性分析的基础原理。 --- 本书特色： 理论深度与应用广度并重： 每一个核心概念都提供严格的数学证明，并配有丰富的、源自工程、物理和经济学的实例分析。 循序渐进的难度设计： 内容组织逻辑清晰，从基础概念的建立到复杂的空间分析，确保学习曲线平稳且有效。 丰富的习题资源： 每节后附有分层次的练习题，涵盖计算、证明和应用建模三大类，旨在巩固概念和培养解决问题的能力。 强调几何直觉： 通过大量的高维空间图形和几何解释，帮助读者建立对抽象数学概念的直观理解。

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