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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Carja, Ovidiu (EDT)/ Vrabie, Ioan I. (EDT)

出品人:

页数:364

译者:

出版时间:2007-3

价格:$ 165.00

装帧:HRD

isbn号码:9789812705945

丛书系列:

图书标签:

• 数学分析
• 微分方程
• 应用数学
• 高等数学
• 偏微分方程
• 数值分析
• 工程数学
• 数学建模
• 科学计算
• 数学物理方法

数学分析前沿：拓扑、测度和泛函方法 本书探讨了现代数学分析的几个核心领域，重点关注了在复杂系统中建模和求解问题的强大工具。本书旨在为读者提供深入的理论基础和广泛的应用视野，特别是在处理非线性、高维以及涉及无限维空间的数学问题时。 第一部分：严谨的拓扑基础与度量空间 本部分从拓扑学的基本概念入手，为后续的分析打下坚实的理论基础。我们从集合论的基本公理出发，逐步引入拓扑空间的定义，包括开集、闭集、邻域和连续性。随后，本书将深入探讨紧致性和连通性这些拓扑空间中至关重要的性质，并阐述它们在函数空间中收敛性理论中的关键作用。 紧接着，我们将重点放在度量空间上。度量空间的概念是泛函分析的直接前身，它允许我们在集合上定义距离，从而讨论收敛性、完备性和收缩映射原理。本书详细分析了完备度量空间的重要性，并以巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）为例，展示了如何利用完备性来证明微分方程解的存在性和唯一性。此外，我们还将讨论等距映射和黎曼几何的初步概念，为理解流形上的分析打下基础。 第二部分：测度论与勒贝格积分的重建 本部分致力于对经典黎曼积分进行严谨的推广，即勒贝格测度论。本书首先回顾了可数集的长度和面积的直观概念，然后引入σ-代数和可测集的正式定义。我们详细构建了勒贝格测度，并证明了其单调性、可加性等关键性质。 测度论的核心在于可测函数的构造。本书系统地介绍了简单函数、非负可测函数以及一般可测函数的定义，并在此基础上发展了勒贝格积分理论。我们将对比分析勒贝格积分与黎曼积分的优劣，重点阐述单调收敛定理（Monotone Convergence Theorem）和优收敛定理（Dominated Convergence Theorem）在极限操作与积分互换中的不可替代的作用。这些定理是处理无限序列的函数空间（如$L^p$空间）的基石。 最后，本部分将初步涉及乘积测度和Fubini定理，展示如何处理多重积分和概率论中的联合分布问题。 第三部分：函数空间的结构——$L^p$空间与巴拿赫空间 本部分将测度论与代数结构相结合，构建泛函分析的核心对象——函数空间。我们专注于$L^p$空间，即所有 $p$ 次幂可积函数的集合。本书详细定义了$L^p$范数，并运用闵可夫斯基不等式（Minkowski Inequality）证明了$L^p$空间（当 $1 le p le infty$ 时）是巴拿赫空间（完备的赋范向量空间）。 深入探讨巴拿赫空间后，本书将转向有界线性算子的性质。我们将介绍算子的范数、有界性和连续性，并探讨开映射定理和闭图像定理，这些定理在证明线性算子逆的存在性和性质方面至关重要。此外，Hahn-Banach定理的陈述和在构造对偶空间中的应用将被详尽介绍，这是处理无限维空间中“线性泛函”的关键工具。 第四部分：希尔伯特空间与正交性分析 本部分聚焦于一个特殊的、具有内积结构的巴拿赫空间——希尔伯特空间。本书从内积空间的定义出发，展示了如何利用内积自然地引入范数，并证明了这些空间是完备的（即希尔伯特空间）。 希尔伯特空间的关键优势在于正交性的概念。我们将详细分析正交投影定理，该定理为我们在闭子空间上寻找最佳逼近提供了几何直觉。随后，本书将引入傅立叶级数和傅立叶变换的严格分析框架。通过将函数嵌入到由正交基构成的希尔伯特空间中，我们能够利用Parseval恒等式来分析能量和信号的分布，这在偏微分方程的解法中具有核心地位。 第五部分：线性算子谱理论简介 本部分将分析建立在希尔伯特空间上的有界线性算子，迈向谱理论的门槛。我们将定义算子的谱（Spectrum），即所有使得 $(T - lambda I)$ 不可逆的复数 $lambda$ 的集合。 本书将区分紧算子（Compact Operators）的性质，并展示希尔伯特-施密特理论（对于积分算子而言）。对于自伴算子（或称为厄米算子），谱理论提供了一个极其强大的结果：谱定理。该定理保证自伴算子的谱仅由实数构成，并且它们具有完备的特征值和特征向量系统。我们将讨论谱定理在求解常微分方程的 Sturm-Liouville 问题以及无谱的偏微分方程（如拉普拉斯方程）中的重要性，揭示物理系统稳定性和可观测性背后的深刻数学结构。 --- 本书的特点： 强调内在联系： 贯穿全书，清晰展示了从基础拓扑到测度论，再到泛函空间结构和谱理论之间的逻辑递进关系。 严谨性与直观性并重： 保证数学论证的严密性，同时辅以丰富的几何和物理背景解释，帮助读者建立深刻的理解。 专注于基础工具： 聚焦于现代分析中不可或缺的几大支柱——完备性、可测性、内积结构和算子谱。

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