Introduction to Ring Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer

作者:Paul M. Cohn

出品人:

页数:224

译者:

出版时间:2002-12-20

价格:USD 49.95

装帧:Paperback

isbn号码:9781852332068

丛书系列:Springer Undergraduate Mathematics Series

图书标签:

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好的，这是一份针对一本名为《Introduction to Ring Theory》的图书所撰写的，不包含该书内容的详细图书简介。这份简介将聚焦于环论之外的其他数学领域，旨在为读者提供一个丰富且深入的替代阅读体验。 --- 深入代数结构：群论、域与模的交织探索 书籍名称：代数结构探秘：从群到域的严谨构建与应用 导言：代数世界的基石 本书旨在为严肃的数学学习者提供一个全面且深入的代数结构探索之旅。我们不关注环（Ring）这一特定结构，而是将焦点投向代数理论中同样基础且至关重要的其他核心概念：群（Group）、域（Field）以及模（Module）。代数结构的研究是现代数学的脊梁，理解这些不同层次的结构如何相互关联、如何构建起更复杂的数学体系，是掌握抽象代数的关键。本书的编排力求严谨的逻辑推导、清晰的数学定义以及丰富的实例支撑，以期带领读者跨越初级概念，直抵高等代数的核心。 本书的结构分为四个主要部分，层层递进，共同构建起一个宏大的代数知识框架。 --- 第一部分：群论的深度剖析 (The Deep Dive into Group Theory) 群是代数结构中最基本、应用最广泛的对象之一。本部分将超越对基本群性质（如封闭性、结合律、单位元和逆元）的初步介绍，深入探讨群的内部结构和复杂性质。 1. 子群、陪集与拉格朗日定理的精妙推导： 我们将详细考察子群的构造方法，特别是正规子群（Normal Subgroups）的重要性。拉格朗日定理的证明将被细致分解，并探讨其在有限群分类中的基础地位。 2. 群作用与共轭类： 群作用（Group Actions）是理解群内部对称性的强大工具。我们将深入研究波利亚计数定理（Pólya Enumeration Theorem）的理论基础，并利用群作用来推导共轭类（Conjugacy Classes）的性质，这对于理解伽罗瓦理论中的置换群至关重要。 3. 直积与半直积： 如何将两个已知的群组合成一个更大的群？本书将区分直积（Direct Product）和半直积（Semi-direct Product）。半直积的非交换特性将通过具体的例子，例如二面体群（Dihedral Groups）和某些有限解​​析群的构造，得到深刻的阐释。 4. 可解群与单群的结构： 对于有限群的结构研究，可解群（Solvable Groups）是一个核心主题。我们将介绍导群列（Derived Series）的概念，并探讨费廷堡定理（Fitting's Theorem）和乔丹-霍尔德定理（Jordan-Hölder Theorem）的意义，为后续理解伽罗瓦群的不可解性打下坚实基础。 --- 第二部分：域论的拓扑与代数桥梁 (Field Theory: Bridging Topology and Algebra) 域（Field）是具有除法运算的交换环，它们是构造多项式方程解、研究代数数论以及现代密码学的基础。本部分侧重于域的扩张与伽罗瓦理论的铺垫。 1. 域的扩张与代数元： 详细区分代数扩张（Algebraic Extensions）和超越扩张（Transcendental Extensions）。我们将运用域扩张的次数公式，分析如何通过逐层扩张来构造复杂的域，例如对 $mathbb{Q}(sqrt{2}, i)$ 的精细分析。 2. 分裂域与正规扩张： 分裂域（Splitting Fields）的概念是构造伽罗瓦理论的起点。本书将严格定义正规扩张（Normal Extensions）和可分扩张（Separable Extensions），并论证其在构造伽罗瓦群时的必要性。 3. 伽罗瓦群的构造与应用： 本书将集中于伽罗瓦理论的核心：伽罗瓦群（Galois Group）的定义及其在域扩张之间建立的对应关系（Fundamental Theorem of Galois Theory）。我们将利用此定理来证明五次及以上方程不可用根式求解的经典命题，并探讨有限域（Finite Fields）的构造及其在编码理论中的重要性。 4. 经典几何问题的代数证明： 利用域扩张的理论，我们将严谨地证明三大几何问题（化圆为方、倍立方、三等分角）的不可解性，展现抽象代数在解决几何难题上的威力。 --- 第三部分：模论：向量空间的推广 (Module Theory: Generalizing Vector Spaces) 模（Module）是比向量空间更一般的代数结构，它将标量域替换为环。理解模论是深入研究表示论、同调代数以及深入理解环结构的必经之路。 1. 模的定义与基本性质： 本书将详细对比模与向量空间的区别与联系，特别关注“自由模”（Free Modules）的概念。我们将探讨模同态、模的核与像，以及商模的构造。 2. 模的分解定理： 对于特定的环（如主理想整环，PID），模的结构可以被极大地简化。我们将深入研究有限生成模的结构定理（Structure Theorem for Finitely Generated Modules over a PID），并展示如何利用该定理对矩阵的相似性、整数矩阵的约化形式进行系统性的分析。 3. 投射模、内射模与平坦模： 本书将引入高阶模的概念，这些结构在同调代数中扮演关键角色。我们将探讨它们在构造精确序列中的作用，并阐述为什么在某些情况下，自由模具有特殊的“理想”地位。 4. 模与表示论的连接： 虽然本书不深入表示论，但我们会展示模论如何作为表示论的直接基础，即通过研究模在特定环上的性质，来揭示群或代数本身的结构。 --- 第四部分：现代代数中的交叉点与展望 (Intersections and Future Directions in Modern Algebra) 最后一部分旨在将前三部分所学的知识融会贯通，并触及一些与环论紧密相关但属于其他领域的现代课题。 1. 交换代数简介： 虽然不详述环论，但我们会简要介绍交换代数中“理想”与“素理想”（Prime Ideals）的概念如何被用来定义拓扑空间（谱论，Spec(R)），以及这些概念在代数几何中的基础作用。 2. 希尔伯特基定理与多项式环： 重点分析多项式环 $mathbb{K}[x]$ 上的模结构，这直接连接了线性代数和更高级的代数。我们将讨论经典伴随矩阵（Companion Matrix）的构造及其与特征多项式、极小多项式的关系。 3. 非交换结构概述： 简要探讨非交换代数（如除环和非交换代数上的模）所带来的挑战，为有志于深入研究表示论和算子代数的读者提供方向。 总结 本书《代数结构探秘：从群到域的严谨构建与应用》是一本为渴望全面掌握抽象代数核心工具的读者精心准备的教材。它通过对群论的深度挖掘、对域论的几何应用以及对模论的结构推广，为读者提供了一个坚实、细致且富有挑战性的数学体验，为未来的高等代数、代数几何或数论研究奠定无可替代的理论基础。本书的每一章都充满了需要读者主动思考和证明的练习题，旨在培养真正的代数直觉和严谨的数学思维。

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