Problems and Theorems in Classical Set Theory (Problem Books in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Péter Komjáth

出品人:

页数:528

译者:

出版时间:2006-05-02

价格:USD 59.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387302935

丛书系列:Problems Books in Mathematics

图书标签:

集合论
数学问题集
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具体描述

This volume contains a variety of problems from classical set theory and represents the first comprehensive collection of such problems. Many of these problems are also related to other fields of mathematics, including algebra, combinatorics, topology and real analysis. Rather than using drill exercises, most problems are challenging and require work, wit, and inspiration. They vary in difficulty, and are organized in such a way that earlier problems help in the solution of later ones. For many of the problems, the authors also trace the history of the problems and then provide proper reference at the end of the solution.

好的，以下是一本关于经典集合论中问题与定理的图书简介，该书与您提到的《Problems and Theorems in Classical Set Theory (Problem Books in Mathematics)》内容无关，并且力求详尽和自然。 --- 《数学史中的集合论基石：公理化尝试与直觉主义的辩证》著者：艾尔莎·冯·霍夫曼出版社：普罗米修斯学术出版社 ISBN： 978-1-945321-88-7 装帧：精装，附插图与历史手稿复刻件内容简介《数学史中的集合论基石：公理化尝试与直觉主义的辩证》并非一本聚焦于当前标准ZFC集合论的技术性习题集，而是一部深入挖掘二十世纪初集合论哲学与基础危机历史脉络的专著。本书旨在回溯现代数学的根基——集合论——在形成初期所经历的深刻的内部冲突、哲学上的挣扎以及结构性的重构过程。本书的叙事线索并非围绕着具体的定理证明展开，而是聚焦于支撑这些定理的思想的演变。它探讨了康托尔（Georg Cantor）在构建无限集合理论时所遇到的悖论，特别是罗素悖论（Russell's Paradox）如何彻底动摇了朴素集合论（Naive Set Theory）的根基。作者详尽分析了当时数学家们面临的困境：是应该限制集合的构造方式，还是彻底重塑逻辑的基础？第一部分：朴素的辉煌与随之而来的裂痕本部分详细梳理了康托尔开创的序数与基数的理论。我们追溯了对有限集合与可数无限集合的精确刻画，并深入研究了连续统（Continuum）的论证，这是现代分析学得以巩固的关键一步。然而，本书并未止步于赞美，而是着重剖析了朴素集合论的内在矛盾。罗素的悖论、布拉里的悖论等被置于历史的语境下进行考察。作者细致地描绘了这些悖论是如何迫使数学界正视“什么是集合”这一根本问题，从而引发了对集合论公理化的迫切需求。第二部分：公理化的竞赛与形式主义的兴起在朴素集合论的危机面前，数学家们展开了旨在“拯救”康托尔理论的努力。本书将重点放在了策梅洛（Zermelo）和弗兰克尔（Fraenkel）的公理化工作上。我们不再仅仅陈述ZFC公理系统，而是探究了每一个公理（如分离公理、替换公理、无 শরণার্থী公理）被提出的具体历史动因和它们所要解决的特定悖论。例如，替换公理是如何应对如“所有基数的集合”这类构造的？分离公理又是如何从“所有对象构成的集合”这一朴素观念中提炼出来的？本书旨在揭示公理系统选择的目的性与妥协性。此外，本书对大卫·希尔伯特（David Hilbert）的形式主义纲领进行了深刻的分析。希尔伯特试图将数学建立在一个可靠的、有限的公理系统之上，以期通过形式化的证明来规避所有悖论。本书探讨了希尔伯特项目在二十世纪二十年代的辉煌与随之而来的挫折，尤其侧重于哥德尔（Kurt Gödel）不完备性定理对这一宏伟计划的根本性打击。我们讨论了哥德尔定理如何从根本上改变了人们对数学确定性的理解。第三部分：直觉主义的挑战与构造主义的立场与日益形式化的主流观点相对，布劳威尔（L. E. J. Brouwer）领导的直觉主义（Intuitionism）提供了一条截然不同的道路。本书用大量篇幅阐述了直觉主义集合论的哲学基础：数学对象必须是人类心智可以构造出来的。我们详尽对比了直觉主义对排中律（Law of Excluded Middle）和选择公理（Axiom of Choice）的拒绝。直觉主义者并不相信一个数学陈述要么为真要么为假，除非我们能提供一个构造性的证明。本书通过对比经典集合论对“存在性证明”的接受方式，与直觉主义对“构造性证明”的严格要求，清晰地展示了两种思维模式的根本差异。例如，作者会对比经典证明中的无穷对角线论证与直觉主义者对此的质疑，揭示了两者在处理不可判定问题时的思维鸿沟。第四部分：哲学转向与现代集合论的预兆最后一部分探讨了集合论在二十世纪中叶如何逐渐“去哲学化”，转而成为一个高度技术化的数学分支，尽管其哲学争议从未完全消退。我们讨论了诸如“连续统假设”（Continuum Hypothesis）的独立性证明所带来的影响——即某些陈述在现有公理体系下既无法被证明，也无法被证伪。这一发现深刻地提示了数学基础的相对性，促使研究者开始探索不同的公理集合，而非仅仅满足于一个“唯一正确的”集合论。本书的价值在于，它将集合论的演变置于一个广阔的知识史背景下，超越了纯粹的符号操作。它不是一本教你如何证明某个特定集合论定理的指南，而是深入剖析了促使这些定理诞生、并激发了对数学本质深刻反思的思想冲突的编年史。对于任何对数学哲学、逻辑基础以及二十世纪科学思想史感兴趣的读者而言，本书提供了不可或缺的视角。 ---