Asymptotic Analysis of Differential Equations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:White, Roscoe B.

出品人:

页数:286

译者:

出版时间:2006-3

价格:702.00元

装帧:HRD

isbn号码:9781860945878

丛书系列:

图书标签:

• 微分方程
• 渐近分析
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 数学分析
• 动力系统
• 扰动理论
• 奇异摄动
• 数值分析
• 应用数学

好的，这是一份关于一本名为《渐近分析：复杂系统的数学工具》的图书简介，该书旨在深入探讨解决复杂系统问题的数学方法，但不涉及您提到的《渐近分析：微分方程》的具体内容。 --- 图书名称：《渐近分析：复杂系统的数学工具》 作者：[此处可填写作者姓名，例如：张伟 教授] 出版社：[此处可填写出版社名称，例如：科学出版社] 深度解析复杂性：超越精确解的数学框架 导言：在不确定性中寻找秩序 在现代科学和工程领域，我们面临的许多问题本质上是“复杂”的：它们涉及大量的变量、非线性的相互作用，以及在极端条件（如小参数、大时间尺度或高频振荡）下行为的剧烈变化。在这些情况下，寻找精确、封闭形式的解析解往往是不切实际的，甚至是不可能的。然而，这并不意味着我们束手无策。 《渐近分析：复杂系统的数学工具》正是在这一背景下应运而生。本书聚焦于渐近分析这一强大的数学工具集，旨在为读者提供一套系统、深入的方法论，用以研究和理解那些“精确解难以企及”的复杂系统。本书并非仅仅罗列公式，而是致力于揭示渐近思维背后的哲学——即如何在系统行为的关键特征尺度上，通过合理的近似来提取出系统的核心动力学。 本书的目标读者群体广泛，包括高等数学、理论物理、应用数学、流体力学、凝聚态物理、控制理论以及金融工程等领域的学生、研究人员和工程师。我们假设读者已经具备扎实的微积分、线性代数和常微分方程基础。 第一部分：渐近分析的基石与核心概念 本书的开篇部分将奠定坚实的理论基础，明确渐近展开的数学严谨性。 第1章：极限与收敛性：渐近展开的语言 我们首先回顾了序列和函数的极限定义，并引入了阶梯符号（$O$、$o$、$sim$）的精确定义及其在描述函数行为中的作用。重点讨论了级数展开与渐近展开的根本区别，强调渐近展开在有限项截断时依然提供了一种有效的近似，而非要求无穷级数收敛。 第2章：一维问题与奇异摄动入门 本章将引入渐近分析的第一个重要应用场景：奇异摄动问题。我们将使用经典的非线性阻尼振动模型为例，展示当一个无量纲参数 $epsilon o 0$ 时，系统行为发生的突变。核心内容包括何为奇异性，以及如何通过限制解（Reduced Solutions）和层流解（Layer Solutions）的概念来构建系统的完整渐近描述。 第3章：多重尺度分析（Multiple Scales Analysis） 当系统同时存在多个相互作用的特征时间或空间尺度时，传统的摄动方法往往失效。多重尺度分析（MSA）是解决这类问题的利器。本章详尽阐述了如何通过引入“慢时间” $t_1 = epsilon t$ 和“快时间” $t_2 = t$ 来重构方程，并利用尺度分离性来避免解中出现不合理的“虚假振荡”或“无效增长”。我们还将介绍平均化原理在MSA中的应用。 第二部分：空间尺度与边界层理论 本部分将视角转向涉及空间分布的系统，特别是边界层现象。 第4章：经典边界层理论（The Classical Boundary Layer Theory） 边界层是流体力学和扩散过程中的核心概念。本章系统回顾了由 Prandtl 提出的经典边界层理论。我们将详细分析高雷诺数下的 Navier-Stokes 方程简化过程，展示如何通过匹配原理（Method of Matched Asymptotic Expansions, MAE）来连接内部（边界层内）和外部（主流）的渐近解。配位函数（Stretching Transformations）的选择在此处被视为关键的艺术与科学。 第5章：内部层与过渡层 边界层并非总是均匀的。本章探讨了在哪些情况下，系统行为会在一个非常小的区域内发生快速转变，例如在化学反应扩散系统中的激波结构或在电磁学中的等离子体sheath。我们将引入相空间分析的方法，结合几何光学近似（Geometrical Optics Approximation），来精确捕捉这些内部层的结构和厚度。 第6章：WKB 近似与半经典分析 WKB（Wentzel–Kramers–Brillouin）近似是处理具有快速空间/时间振荡的方程的经典工具，广泛应用于量子力学和波传播。本章不仅介绍 WKB 级数展开的构造，更重要的是深入讨论了连接公式（Connection Formulas）的推导与应用，特别是如何处理 WKB 近似失效的“转折点”（Turning Points）。 第三部分：高维系统与随机环境下的渐近 现代科学问题往往需要处理高维空间或在随机背景下运行。本部分将探讨更现代和复杂的应用。 第7章：随机微分方程的渐近行为 本章将随机性引入系统。我们不再直接求解随机微分方程（SDEs），而是关注在长期（$t o infty$）或小噪声强度 ($sigma o 0$) 下系统的统计特性。内容涵盖Fokker-Planck 方程的渐近简化、有效噪声近似，以及在金融模型中用于计算稀有事件概率的大偏差理论（Large Deviation Theory）的初步应用。 第8章：模态展开与奇异摄动在积分方程中的应用 积分方程在概率论、辐射传输和控制理论中非常普遍。本章探讨了如何将多重尺度分析和边界层方法应用于积分形式的方程。特别关注了核函数奇异性或低秩近似下的模态衰减，以及如何通过特征值展开与渐近近似相结合来快速确定系统的主要动态模式。 第9章：非线性振荡系统与平均化方法 对于具有弱非线性的周期性或准周期性系统，精确求解极其困难。本章重点介绍 Krylov-Bogoliubov 平均化方法的严格数学推导，展示如何将复杂的非线性耦合系统在长时间尺度上简化为一维的有效演化方程，从而揭示系统的能量漂移和振幅调制规律。 结语：从近似到洞察 《渐近分析：复杂系统的数学工具》旨在培养读者一种“自适应”的数学建模思维。渐近分析的精髓在于识别物理尺度，并在这些尺度上施加最恰当的数学近似。本书提供的不仅仅是一系列技巧，而是一个完整的思维框架，使得研究者能够有效地穿透复杂系统的迷雾，直达其核心机制。掌握这些工具，意味着能够将理论模型更紧密地与实验观测和工程设计联系起来，是现代应用数学不可或缺的基石。 ---

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