Construction of Mappings for Hamiltonian Systems and Their Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Abdullaev, S. S.

出品人:

页数:393

译者:

出版时间:

价格:$ 123.17

装帧:HRD

isbn号码:9783540309154

丛书系列:

图书标签:

• Hamiltonian systems
• dynamical systems
• mapping
• symplectic geometry
• integrable systems
• chaos
• numerical analysis
• perturbation theory
• geometric mechanics
• applications

复杂系统动力学与几何理论：从传统方法到前沿探索 图书简介 本书旨在深入探讨复杂系统动力学在现代科学与工程中的理论基础、分析方法及其广泛应用，特别关注那些超越传统线性或近线性假设的非线性、高维及耦合系统。全书内容聚焦于解析、数值以及几何工具的整合运用，旨在为研究人员、高级学生及工程师提供一个全面而严谨的框架，以理解和预测复杂系统的长期行为、稳定性边界以及突变现象。 第一部分：非线性动力学基础与分析工具 本部分奠定了理解复杂系统动力学所必需的数学和概念基础。我们首先回顾了常微分方程（ODE）和偏微分方程（PDE）在描述物理、生物和工程系统中的核心作用。重点在于相空间的概念化，以及如何通过流（Flow）的演化来捕捉系统的内在动态。 1.1 稳定性理论的扩展：李雅普诺夫方法与全局分析 传统的线性稳定性分析（如特征值分析）在局部确定系统行为方面非常有效，但对于全局稳定性、极限环或混沌系统的分析则显得力不从心。本书详细阐述了李雅普诺夫函数的设计与构造，特别是寻找合适的能量或耗散函数来证明系统的全局渐近稳定性，即使在缺乏明确能量概念的抽象系统中。我们深入探讨了拉萨尔不变集原理（LaSalle Invariance Principle）的应用，该原理在处理具有非零耗散率的系统中判断吸引子的存在和性质方面至关重要。此外，还引入了双曲/非双曲鞍点的概念，解释了拓扑共轭与轨道结构之间的关系，这对于区分系统在不同参数下的定性行为至关重要。 1.2 分岔理论与系统定性变化 系统的定性行为（如平衡点的消失、出现或转变）通常由参数的微小变化触发，这便是分岔现象。本书系统地分类和分析了一系列重要的分岔类型： 局部分岔： 深入分析了鞍节点分岔、超临界/次临界Hopf分岔，以及涉及复杂特征值对的魏兰德（Andronov-Hopf）分岔。重点展示了如何使用范式方程（Normal Forms）来简化局部动力学，并精确预测分岔点。 全局分岔与滞后现象： 讨论了同宿（Homoclinic）和异宿（Heteroclinic）轨道，它们是导致系统从周期行为过渡到混沌或产生大尺度滞后效应的关键结构。通过边界-涌现（Boundary-Blowing Up）和折叠（Fold）机制，解释了为什么系统在参数空间中会表现出不可逆的路径依赖性。 1.3 遍历理论与混沌系统的度量 对于具有极端敏感依赖性的混沌系统，概率和统计工具成为描述其长期平均行为的必要手段。本书介绍了遍历理论的基本概念，包括不变测度（Invariant Measure）和时间平均与空间平均的等价性。混沌的量化是本节的核心： 李雅普诺夫指数谱： 详细解释了如何计算和解释最大李雅普诺夫指数，作为系统对初始条件敏感性的直接量度。我们探讨了有限时间李雅普诺夫指数（FTLE）在识别流场中分离或收缩机制中的实际应用。 信息论度量： 引入了容量维度（Capacity Dimension）、豪斯多夫维度（Hausdorff Dimension）以及信息熵（如科尔莫戈罗夫-辛那伊熵，KS Entropy）来刻画奇异吸引子的复杂结构，并区分确定性混沌与随机过程。 第二部分：几何方法与结构化建模 复杂系统的深层规律往往隐藏在它们所处的几何结构之中。本部分转向拓扑学、微分几何以及几何力学，以期发现跨越不同物理背景的普适规律。 2.1 微分几何在动力学中的应用 我们将动力学系统视为在流形上定义的向量场。流形理论提供了描述系统状态空间几何性质的强大语言。 切丛与余切丛： 探讨了切空间如何反映局部扰动的演化方向，以及余切空间如何与哈密顿力学中的动量变量相关联。我们分析了流形上的测地线方程，并将其与保守系统的运动方程联系起来。 李群与对称性： 系统的内在对称性，通常由李群描述，是理解其不变量和守恒量的关键。通过李导数和无穷小变换，展示了如何利用诺特定理（虽然是为场论准备的，但其思想对动力学对称性分析依然有效）的精神来简化或识别系统的核心自由度。 2.2 保守系统与泊松结构 对于能量守恒的系统，分析的焦点转移到辛几何（Symplectic Geometry）和泊松代数上。 辛积分与辛结构： 详细讨论了辛积分（Symplectic Integrals）的保持性质，强调了辛积分在数值积分中相对于一般积分的优越性，尤其是在长时间模拟中保持能量和相空间的体积。我们分析了泊松括号与哈密顿量之间的关系，这构成了保守系统演化的核心代数结构。 正则变分原理： 从变分原理出发，推导出一阶和二阶动力学方程，并讨论了其在结构保留数值方法设计中的指导作用。 第三部分：复杂系统的多尺度与耦合分析 现实世界的系统很少是孤立的，它们通常表现出多时间尺度行为和广泛的相互作用。本部分关注如何处理这些复杂性。 3.1 奇异摄动与多尺度分析 处理快慢尺度交织的系统是复杂系统研究中的核心挑战。 约化方法： 系统地介绍了奇摄动理论（Singular Perturbation Theory）的工具，包括边界层方法（Boundary Layer Methods）和平均化方法（Method of Averaging）。重点分析了“快速子系统”和“慢子系统”的解耦与重构过程，以建立系统的低维近似模型。 几何奇异摄动： 阐述了在相空间中，慢流形（Slow Manifolds）的几何性质如何决定长期动力学，以及如何通过几何投影来消除快变分量，从而揭示系统的核心吸引子。 3.2 网络动力学与耦合系统 当多个单元通过某种拓扑结构相互连接时，整体行为往往涌现出个体所不具备的特性。 同步现象： 深入研究了耦合振子网络中的同步。分类了不同类型的同步（完全同步、相位同步、广义同步），并分析了同步的全局稳定性，特别是通过图论指标（如连接矩阵的特征值）与同步阈值之间的关系。 Kuramoto模型及其扩展： 详细分析了Kuramoto模型在描述大量同调振子群体行为中的应用，并讨论了非线性耦合项、时间延迟以及拓扑结构对涌现同步模式的深刻影响。 第四部分：计算方法与实际应用的前沿展望 理论分析必须辅以强大的计算工具。本部分聚焦于先进的数值技术，以及如何将这些动力学模型应用于实际工程和科学问题。 4.1 结构保留数值积分 传统数值积分器（如Runge-Kutta）在长时间模拟保守或耗散系统时会积累误差，破坏系统的关键结构。本节强调了结构保留方法的重要性： 辛积分器： 详细介绍了基于黎曼和或显式/隐式欧拉方法的辛积分器的构造，证明了它们在保持辛结构（即体积保持）方面的优势。 耗散系统的保结构方法： 讨论了如何设计算法来精确保留李雅普诺夫函数的性质或耗散率，尤其是在处理带约束的力学系统时。 4.2 动力学识别与数据驱动建模 在实验数据和高维观测结果日益丰富的背景下，如何从数据中逆向工程出潜在的动力学方程成为一个热门领域。 稀疏识别（Sparse Identification of Nonlinear Dynamics, SINDy）： 详述了如何使用稀疏回归技术（如LASSO）从数据中筛选出最能描述系统演化的微分方程项，这极大地提高了模型的可解释性。 几何嵌入与重构： 采用时间延迟嵌入技术，结合主成分分析（PCA）或非线性降维方法，从高维观测序列中重构出系统的低维吸引子，并计算其拓扑不变量。 全书的最终目标是装备读者以一套完备的、从纯理论到计算实践的工具箱，用以解析那些对初始条件高度敏感、行为复杂且内在结构丰富的现代科学与工程系统。

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