Lie Algebras And Algebraic Groups pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Tauvel, Patrice/ Yu, Rupert W. T.

出品人:

页数:653

译者:

出版时间:2005

价格:89.95

装帧:精装

isbn号码:9783540241706

丛书系列:

图书标签:

• Lie Algebras
• Algebraic Groups
• Representation Theory
• Mathematics
• Algebra
• Graduate Level
• Abstract Algebra
• Structure Theory
• Classification
• Semisimple Lie Algebras

深入探索李代数与代数群的边界：一个理论框架的构建与应用 本书旨在为深入研究代数几何、表示论以及数学物理中核心概念的读者提供一个严谨且富有洞察力的理论框架。虽然我们聚焦于李代数和代数群的经典结构，但本书的独特之处在于其对这些概念背后更深层次的拓扑和分析结构的探讨，以及它们在现代数学不同分支中的交汇点。 第一部分：李代数的基础与结构理论的重构 本书伊始，我们将重新审视李代数的定义，并迅速推进到更抽象的层次，即其作为某些代数结构（如李群或某些几何对象）的切空间或线性化版本的视角。我们不会将重点停留在初级的挠表（Killing form）和根系分析上，而是侧重于构造性地理解半单李代数的分类。 1.1 根系理论的几何解析： 我们将超越传统的韦根图（Weyl group）的组合描述，深入探讨根系如何在复向量空间中形成离散的晶格结构。重点分析根系如何编码了李代数的表示结构，特别是通过权空间的分解。此处，我们将详细阐述 Cartan subalgebra 的中心化性质，并利用其来系统地构建所有有限维不可约表示。 1.2 结构方程的解析延拓： 在半单李代数理论中，结构常数的确定是至关重要的。我们将会探讨如何利用 Chevalley 构造（特别是 $B-N$ 对）来明确地构造李代数 $mathfrak{g}$ 的生成元，并以此为基础，推导出其李括号的精确形式。这将涉及对 Cartan-Killing 形式的深入研究，展示其在确定李代数半纯性方面的决定性作用。 1.3 泛包络代数与 Gelfand-Zetlin 理论的初步连接： 虽然泛包络代数 $mathcal{U}(mathfrak{g})$ 的研究通常是表示论的核心，但我们将其视为连接李代数与组合学和离散数学的桥梁。我们将简要介绍 Verma 模的概念，并探讨其在处理不可约表示时的重要性，尤其是在理解其特征多项式方面。 第二部分：代数群的定义、构造与范畴的统一 代数群的研究是将代数几何的严格性引入到群论中的关键步骤。本书将代数群定义为在某一域（通常是复数域 $mathbb{C}$ 或代数闭域 $k$）上定义的群对象，其结构由多项式方程决定。 2.1 线性代数群的精确描述： 我们将从最直观的线性群 $ ext{GL}_n$ 开始，探讨其子群（如 $ ext{SL}_n, ext{Sp}_{2n}, ext{SO}_n$）如何通过多项式约束被定义。对于每个经典群，我们将详细分析其李代数 $mathfrak{g}$ 与其对应的代数群 $G$ 之间的指数映射关系，并强调在特征为零的域上，这种关系是局部同构的。 2.2 射影嵌入与几何对应： 代数群的本质优势在于它们可以被嵌入到射影空间 $mathbb{P}^m$ 中，成为代数簇。我们将深入研究旗流形（Flag Varieties）$G/B$（其中 $B$ 是玻雷尔子群）作为研究代数群表示空间的基本对象。这种几何视角允许我们将群的表示问题转化为代数几何中的向量丛或层上同调问题。 2.3 Hopf 代数结构与双代数： 为了更深入地理解代数群的表示理论，我们需要转向其“函数空间”——即由代数群上的多项式函数构成的环 $mathcal{O}(G)$。本书将阐明 $mathcal{O}(G)$ 如何形成一个 Hopf 代数，这自然地编码了群的乘法、逆元和单位元操作。我们将详细分析如何通过 $mathcal{O}(G)$ 的余乘（co-multiplication）来定义张量积的表示，从而统一了李代数表示论中的所有构造。 第三部分：李代数与代数群的相互作用：表示论的统一视图 在这一部分，我们将汇集前两部分的成果，重点探讨如何从代数群 $G$ 的角度来组织和理解其对应李代数 $mathfrak{g}$ 的表示。 3.1 纤维化：从群到李代数： 我们将系统地研究如何从代数群 $G$ 的任何表示 $ ho: G o ext{GL}(V)$ 诱导出李代数 $mathfrak{g}$ 的表示。关键在于考察无穷小作用，即 $ ho$ 在单位元处的微分。本书将详述 Schur 引理在李代数和代数群框架下的推广与差异。 3.2 玻雷尔子群与极小权理论： 对于任何半单代数群 $G$，玻雷尔子群 $B$ 的存在是其结构理论的基石。我们将详细分析最大可解子群 $B$ 如何定义了上三角矩阵的上三角群结构，并利用其导出的根空间分解，来识别最高权表示（Highest Weight Representations）。这将是连接 $mathfrak{g}$ 理论中 Cartan 子代数与 $G$ 理论中玻雷尔子群的关键。 3.3 连通性与李群的重构： 尽管本书的核心是代数结构，但我们必须探讨实李群和复李群之间的关系。我们将简要讨论如何从复代数群 $G(mathbb{C})$ 恢复或近似其对应的紧致实李群 $G(R)$，并通过这种方式引入紧群表示论（如 Peter-Weyl 定理）的视角，以提供对有限维表示的拓扑约束。 第四部分：高阶结构与未来展望 最后，我们将目光投向更具现代性的领域，这些领域依赖于前述基础理论的深入应用。 4.1 简约群的分类与 $G_2, F_4, E_6, E_7, E_8$： 在回顾了 A, B, C, D 族（经典的李代数）之后，我们将转向例外李代数。虽然它们的具体构造依赖于更精细的几何或张量分析，但我们将展示它们是如何作为某些特殊结构（如 Jordan 代数或李超代数）的自同构群的李代数而自然出现的。 4.2 模空间理论的初步接触： 代数群在处理模空间（如向量丛的模空间）时扮演了“对称群”的角色。本书将通过一个具体的例子（例如，$mathbb{P}^1$ 上的线丛的模空间），展示代数群作用如何帮助我们理解这些空间的内在几何结构，从而将代数群的理论置于现代几何的中心位置。 本书的叙述风格旨在保持数学的精确性，同时避免不必要的冗余，着重于概念的内在联系和构造的逻辑推导。每一部分都建立在前一部分的基础上，旨在为读者构建一个统一的、可以用于进一步研究的理论工具箱。

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