Triangulations and Applications pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Daehlen, Morten

出品人:

页数:234

译者:

出版时间:

价格:$ 84.69

装帧:HRD

isbn号码:9783540332602

丛书系列:

图书标签:

• Triangulation
• Computational Geometry
• Mesh Generation
• Finite Element Methods
• Graph Theory
• Algorithms
• Data Structures
• Discrete Geometry
• Applied Mathematics
• Computer Graphics

几何拓扑的深邃探索：从基础概念到尖端应用 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的几何拓扑学基础，并引导其深入探索该领域在现代数学和应用科学中的前沿动态。内容涵盖了从最基础的集合论与点集拓扑的严谨定义，到代数拓扑中强大工具的构建，再到微分几何在现代物理学中的优雅展现。全书力求在保持数学严谨性的同时，注重概念的几何直观性和应用层面的有效性。 第一部分：点集拓扑与基础结构 本部分奠定了整个拓扑学研究的基石，关注空间的内在结构和连续性概念的推广。 第一章：集合论基础与拓扑空间的引入 本章从集合论的视角重新审视数学对象，复习良序原理、选择公理（及其在构造复杂空间中的作用）。随后，我们正式引入拓扑空间的定义——通过开集的系统来刻画空间的“邻近性”。重点讨论了拓扑的等价性、子空间、商空间以及乘积空间的构造。通过大量实例（如欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 的标准拓扑、离散拓扑、余有限拓扑），读者将掌握如何判断一个给定的结构是否构成一个有效的拓扑。 第二章：连续性、连通性与紧致性 连续性是拓扑学的核心概念，本章将其推广到任意拓扑空间，并探讨其在函数空间中的重要性。我们将详细分析开闭集的对应关系、连续函数的性质及其与原空间拓扑的关系。 连通性（Connectedness）被引入作为衡量空间“不可分割性”的属性。我们不仅讨论连通空间和路径连通空间，还将展示它们在分析中的应用，例如中间值定理的拓扑推广。 紧致性（Compactness）是本部分最关键的性质之一。通过 Heine-Borel 定理（在 $mathbb{R}^n$ 中）以及更具普遍性的开覆盖定义，读者将理解紧致性如何保证了连续函数的最值存在性。我们还将探究紧致性的分离公理性质，及其在构造收敛序列中的关键作用。 第三章：分离公理与完备性 本章聚焦于区分不同“质量”的拓扑空间，即分离公理（Hausdorff, 正则性, 正规性）。Hausdorff 空间的地位尤为重要，因为它保证了序列极限的唯一性，使得许多基于极限的分析方法得以应用。 随后，我们转向度量空间的概念，引入完备性（Completeness）。完备性是巴拿赫不动点定理等分析工具的基础。我们将对比完备度量空间、贝尔纲定理（Baire Category Theorem）及其在函数空间中的应用，特别是函数逼近理论中的意义。 第二部分：代数拓扑的工具箱 代数拓扑的精髓在于利用代数结构（如群、环）来区分拓扑空间，从而解决那些仅凭点集拓扑难以区分的问题。 第四章：基本群与路径依赖性 本章导引入了代数拓扑的第一个重要不变量——基本群 $pi_1(X, x_0)$。我们详细构建了路径、同伦的概念，并严格证明了基本群是一个群结构。重点分析了圆周 $S^1$ 的基本群，以及它在证明诸如 Brouwer 不动点定理（二维情况）和波恩塞-布劳威尔定理中的经典应用。商空间和覆盖空间的概念也将在此章中初步展现其威力。 第五章：同调论的初探 为了处理更复杂的空间结构，我们需要更强大的代数不变量。本章引入了同调论的思想，旨在描述空间中“洞”的更高维结构。我们首先通过链复形（Chain Complexes）和边界算子（Boundary Operators）的形式语言来描述这一过程。 我们定义了奇异同调群 $H_n(X)$，并阐述了它们作为拓扑不变量的性质：连续映射诱导出同态，同胚保证了同构。重点解析了球 $S^n$ 和环面 $T^n$ 的同调群计算，揭示了 Betti 数的几何意义。 第六章：同伦群与纤维化 本章将回归到更高阶的基本群——同伦群 $pi_n(X, x_0)$。虽然它们比基本群更难计算，但它们提供了更精细的区分能力。我们阐述了 Hurewicz 定理，该定理建立了第一个非平凡同伦群与第一个非零同调群之间的桥梁。 随后，我们深入探讨纤维丛（Fiber Bundles）和覆盖空间理论（Covering Spaces）。这为我们提供了理解 $S^n$ 的基本群的强大工具，并为理解规范场论中的几何结构埋下了伏笔。 第三部分：微分几何与应用前沿 本部分将拓扑学的抽象概念与光滑性（微分结构）结合起来，形成了微分几何，这是现代物理学，尤其是广义相对论和场论的语言。 第七章：流形与切空间 本章正式引入光滑流形（Smooth Manifolds）的概念，即局部具有欧几里得结构的拓扑空间。我们详细讨论了坐标图、转移映射的光滑性要求。 切空间（Tangent Space）是微分几何的核心。我们将其定义为所有通过该点的光滑曲线的速度向量构成的向量空间，并讨论如何利用切空间来定义光滑函数在流形上的微分（向量场）。 第八章：张量、微分形式与积分 在流形上，我们自然需要推广向量和张量的概念。本章引入了张量场，特别是微分形式（Differential Forms）——它们是满足特定反变和共变的向量空间上的线性函数。 重点阐述了微分 $d$ 算子、楔积 $wedge$，以及它们如何自然地构建出德·拉姆复形（de Rham Complex）。德·拉姆上同调群 $H_{dR}^k(M)$ 作为微分几何中的拓扑不变量，与奇异同调群通过德·拉姆定理相关联。 第九章：测地线、曲率与拓扑的交互 本章将微分几何与空间弯曲的概念联系起来。我们定义了黎曼度量和列维-奇维塔联络，并由此导出了测地线（Geodesics）的概念，即“流形上的最短路径”。 曲率（Curvature）是衡量空间偏离平坦程度的量度。我们将分析里奇曲率和黎曼曲率张量。最后，我们将介绍高斯-邦内定理（Gauss-Bonnet Theorem），该定理深刻地展示了曲率（微分几何的局部量）如何与欧拉示性数（拓扑学的整体不变量）精确关联，体现了本书所贯穿的几何与拓扑的深度统一。 全书通过循序渐进的逻辑和详尽的数学推导，旨在培养读者对抽象几何结构的深刻洞察力，并为他们从事高维几何、拓扑数据分析或理论物理等领域的研究打下坚实的基础。

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