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《应用数学与工程计算方法》 图书简介 本书旨在为工程技术人员、应用数学研究者以及高年级本科生和研究生提供一套全面而深入的现代计算数学工具和方法。在当今科学与工程领域，面对复杂系统的精确建模与高效求解，传统解析方法往往力不从心。因此，掌握稳定、高效的数值算法成为解决实际问题的关键。《应用数学与工程计算方法》正是在此背景下应运而生，它系统地梳理了从基础理论到前沿应用的诸多核心计算技术。 第一部分：数值分析基础与误差理论 本部分首先奠定了坚实的数学基础。我们将深入探讨浮点数运算的精度限制、误差的来源（截断误差与舍入误差）及其传播规律。通过详细的算例分析，读者将建立起对数值稳定性的基本认识。随后，本书将讲解求解非线性方程的各种迭代方法，包括但不限于牛顿法、割线法以及保证收敛性的区域法，重点分析了每种方法的收敛速度和适用范围。在插值与逼近理论方面，本书不仅涵盖了经典的拉格朗日插值和牛顿插值，更引入了更具实用价值的分段三次样条插值，特别强调了样条函数在光滑性和端点条件处理上的优势，这对于工程数据拟合至关重要。此外，最小二乘法作为处理超定方程组和数据拟合的基石，被给予了详尽的论述，包括线性最小二乘与非线性最小二乘（如高斯-牛顿法）的算法实现。 第二部分：线性代数方程组的数值求解 线性代数方程组是科学计算中最基本也是最频繁遇到的数学问题。本部分聚焦于高效、稳定地求解 $mathbf{Ax}=mathbf{b}$ 形式的系统。首先，对直接法进行系统性介绍，重点分析了高斯消元法的运算复杂度与稳定性问题，并详细阐述了 LU 分解、Cholesky 分解（针对对称正定矩阵）在提升计算效率和保持数值精度方面的作用。 然而，对于大规模稀疏矩阵系统，直接法往往因存储和计算量过大而不可行。因此，本书花费大量篇幅介绍迭代法。我们从雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代出发，引导读者理解迭代法的收敛条件。随后，将重点转向现代高效的迭代求解器，包括著名的共轭梯度法（CG）、各种预处理技术（如代数多重网格法的基础思想）以及 Krylov 子空间方法（如 GMRES 和 BiCGSTAB）在非对称系统中的应用。对于特征值问题的求解，本书也讨论了幂迭代法、反幂迭代法以及 QR 算法的原理与工程实现。 第三部分：常微分方程（ODE）的数值积分 常微分方程是描述动态系统演化的核心数学工具。本书系统性地覆盖了从一阶到高阶常微分方程的数值积分方法。我们从最简单的欧拉前向和后向方法入手，详细分析了它们的局部截断误差和全局误差。在此基础上，本书深入讲解了龙格-库塔（Runge-Kutta）族方法，特别是经典的四阶龙格-库塔（RK4）方法，并引入了适应步长控制的自适应步长 RK 方法，以平衡精度与计算成本。对于刚性（Stiff）微分方程，本书介绍了隐式方法（如 BDF 系列）的必要性及其在化学反应动力学、电路仿真等领域的关键作用。 第四部分：偏微分方程（PDE）的数值方法 偏微分方程是描述场分布、热传导、流体动力学等物理现象的基础。本部分侧重于三种主要的数值离散方法。 有限差分法（FDM）： 详细介绍了如何利用泰勒展开构造不同阶数的差分近似，并将其应用于经典的热传导方程（抛物型）、波动方程（双曲型）和泊松方程（椭圆型）。重点分析了这些方法在直角坐标系下的稳定性和收敛性判据（如 CFL 条件）。 有限元法（FEM）： 作为处理复杂几何形状和边界条件的强大工具，有限元法是本书的重点之一。我们将从变分原理出发，详细讲解基函数的选择、单元刚度矩阵的形成、装配过程以及处理非均匀网格和自然边界条件的方法。本书将采用图示和具体二维案例，帮助读者理解形函数和形变梯度在求解结构力学问题中的应用。 有限体积法（FVM）： 尤其在计算流体力学（CFD）领域至关重要。本书解释了 FVM 如何通过对控制方程在控制体积上积分来自然地保证守恒性，并介绍了各种通量近似格式（如迎风格式、中心差分格式）在保持稳定性和高分辨率之间的权衡。 第五部分：数值优化与工程应用 本部分将计算方法扩展到求解优化问题。内容涵盖了无约束优化中的梯度下降法、牛顿法及其准牛顿近似（如 BFGS 方法），并探讨了如何处理大规模优化问题。对于约束优化，本书介绍了拉格朗日乘子法和 KKT 条件。最后，本书通过几个具体的工程案例（如结构优化设计、参数估计）来演示如何整合前面介绍的数值技术，将复杂的物理模型转化为可计算的数值流程，强调了从物理建模到数值实现的完整工程视野。 本书的特点在于其严谨的数学推导与丰富的工程实例相结合，强调算法的内在性质（如收敛性、稳定性和精度）以及在实际计算平台（如 MATLAB 或 Python 科学计算库）上的有效实现策略。它不是一本纯粹的数学理论著作，而是一本面向实际应用问题的工具书。
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