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☆☆☆☆☆

出版者:Springer

作者:Albert W. Marshall

出品人:

页数:909

译者:

出版时间:2009-1-1

价格:USD 89.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9780387400877

丛书系列:

图书标签:

• 数学
• Springer
• 科普
• Mathematics
• 2009
• 数学
• 不等式
• 数学分析
• 高等数学
• 竞赛数学
• 数学建模
• 优化
• 实分析
• 函数
• 数学方法

探寻数的深层结构：一本关于代数不等式的权威著作 作者/编者： 若干领域知名数学家（此处假设作者群具备深厚的代数基础和丰富的教学经验） 出版社： 经典数学文献出版社（Hypothetical Press） 出版年份： [此处可根据需要虚构一个年份，例如 2024] --- 图书简介 本书《代数不等式理论精要》（Essentials of Algebraic Inequality Theory，暂定书名，旨在强调其内容的深度和广度，避免与您提到的书名直接冲突）是一部旨在系统梳理和深入剖析代数不等式理论基础、高级技巧及其在现代数学各个分支中应用的权威性专著。它并非简单地汇编已知的不等式，而是深入挖掘不等式背后的结构性原理、证明哲学以及它们如何作为解决复杂数学问题的核心工具而存在。 全书内容结构严谨，逻辑清晰，从基础的实数序关系出发，逐步攀升至高维空间中的几何不等式和函数分析中的极限不等式。本书的目标读者是高等数学专业学生、研究生、致力于数学研究的学者以及需要运用高级不等式工具解决实际工程或科学问题的专业人士。 第一部分：基础构建与经典框架 本书的第一部分奠定了理解整个不等式体系的基石。我们摒弃了对初级技巧的冗余叙述，而是着重于不等式的“公理化”视角。 第一章：序关系与基本性质的重审 本章首先精确定义了实数域上的序关系，并着重探讨了在特定代数结构（如域、环）下序关系的存在性与唯一性。重点剖析了阿基米德性质和完备性公理如何从根本上决定了我们对不等式的直观理解。我们深入讨论了柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality）在内积空间中的几何意义，并将其推广到更抽象的线性空间中，展示其作为衡量向量“分离度”的普适工具。 第二章：初等代数不等式的深化 本章不再满足于简单的均值不等式（AM-GM）。我们引入了均值不等式族的更广义形式，如幂均值不等式（Power Mean Inequality, $M_p$）及其与黎曼积分、概率论中矩的联系。此外，对排序不等式（Rearrangement Inequality）进行了详尽的阐述，不仅给出了其简洁的代数证明，更探讨了它在组合优化问题中的应用，特别是与排序算法复杂度的关联。本章的亮点在于对加权算术-几何平均不等式（Weighted AM-GM）的现代解析证明。 第三章：多项式与有理函数不等式 这一部分专注于解析方法。我们详细考察了Descartes 符号法则在确定实根位置方面的局限性，并引入了Sturm 定理来精确计算多项式实根的数量。针对有理函数的不等式求解，我们运用分离变量法和符号分析法，建立了处理涉及分式项的复杂不等式的系统流程。特别地，我们探讨了当变量受限于特定区间时，如何利用导数检验来确定不等式的全局最小值或最大值点。 第二部分：高级结构与现代工具 第二部分是本书的核心，它将读者带入高等数学的前沿，探讨那些需要深厚分析和拓扑知识才能驾驭的不等式。 第四章：凸性与詹森不等式（Jensen's Inequality） 凸函数理论是现代数学分析的基石之一。本章从凸包的几何概念出发，精确定义了凸函数和凹函数。詹森不等式被视为核心，我们不仅给出了其在实值函数上的证明，还将其推广到测度空间和随机变量的期望值情境中。更进一步，我们引入了Hadamard 不等式，并探讨了凸性如何影响函数在区间上的积分性质。对Karamata 不等式（Majorization）的详细讨论，揭示了函数间“支配”关系的深刻含义。 第五章：变分法与欧拉-拉格朗日方程的边界条件 本章将不等式思维融入到泛函分析的范畴。我们探讨了在变分问题中，边界条件如何转化为不等式约束。例如，在最小化特定泛函时，若允许的函数空间被凸集限制，极值点便不再满足通常的欧拉-拉格朗日方程，而是遵循变分不等式（Variational Inequalities）的原理。本章详细介绍了Nagai’s Theorem在最优控制问题中的应用，以及如何使用Lagrange Multipliers处理包含不等式约束的优化问题。 第六章：微分不等式与半群理论 微分不等式是处理动力系统稳定性和解的增长率的关键工具。我们深入研究了Gronwall-Bellman 不等式，并阐释了其在证明常微分方程解的唯一性和上界估计中的决定性作用。随后，我们将视野扩展到偏微分方程（PDEs），讨论了Comparison Principle（比较原理）在抛物型和椭圆型方程解的结构性分析中的应用，特别是当方程系数仅满足某种不等式条件时，解的正则性和先验估计。 第三部分：几何、拓扑与应用拓展 第三部分将抽象的代数结构与具体的几何和拓扑问题相结合，展示不等式作为桥梁的作用。 第七章：几何不等式与测度论基础 本章聚焦于几何对象的度量关系。我们详细考察了等周定理（Isoperimetric Inequality）在欧几里得空间中的精确表述，并将其提升到黎曼流形上的广义形式，探讨了其与谱理论（如拉普拉斯-贝尔特拉米算子）的关系。对于高维几何，我们讨论了Brunn-Minkowski 不等式，它揭示了体积（或测度）在闵可夫斯基和运算下的次可加性，是研究凸体几何特性的核心工具。 第八章：函数空间与算子不等式 本章面向泛函分析的高级读者。我们探讨了Banach 空间和Hilbert 空间中线性算子的范数不等式。重点分析了Hille-Yosida 定理的背景，该定理通过不等式条件保证了无界线性算子生成连续半群的可能性。此外，对Sobolev 空间中的嵌入定理（例如，Sobolev 不等式）的讨论，展示了函数空间之间内在的正则性联系。 第九章：数论与特定函数族中的不等式 最后，本书将目光投向数论领域。我们分析了Dirichlet L-函数和Zeta 函数中的不等式估计，这些估计对于理解素数的分布至关重要。我们重述了Minkowski 线性形式在晶格点计数问题中的应用，并探讨了Hardy-Littlewood 猜想（或相关结果）中涉及的积分形式的不等式，这些不等式反映了数论中加性结构与乘性结构之间的微妙平衡。 总结： 本书通过对不等式理论的深度挖掘与横向拓展，旨在为读者提供一个全面、深刻且充满洞察力的视角，理解这些看似简单的数学陈述背后所蕴含的深刻结构和普适性原理。它不仅教授“如何证明”不等式，更阐释了“为何”这些不等式在数学大厦中占据核心地位。全书辅以大量精选的例题和开放性问题，鼓励读者主动探索和构建自己的不等式证明体系。

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这本书好难读懂，要以大量的optimization 知识为基础。但是，这些理论很有意思，也很有用。

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