Stochastic Calculus of Variations pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:CRC Pr I Llc

作者:Lyasoff, A.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:69.95

装帧:HRD

isbn号码:9781584880745

丛书系列:

图书标签:

• Stochastic Calculus
• Calculus of Variations
• Stochastic Analysis
• Probability Theory
• Mathematical Finance
• Differential Geometry
• Martingale Theory
• Stochastic Differential Equations
• Optimization
• Applied Mathematics

好的，这是一份关于一本名为《随机变分的微积分》（Stochastic Calculus of Variations）的书籍的简介，内容详实且完全围绕该主题展开，不涉及您的特定书籍信息，力求自然流畅。 《随机变分的微积分》：探究随机系统中的优化与控制 书籍简介 《随机变分的微积分》是一部深入探讨随机系统分析与控制理论中核心数学工具的权威著作。本书聚焦于如何将经典变分法与随机过程理论相结合，为处理具有不确定性或噪声影响的动态系统提供严谨的数学框架。该领域的研究源于对真实世界现象的建模需求，从金融市场波动到物理学中的布朗运动，随机性是理解复杂系统演化的关键要素。 本书系统地构建了理解随机变分学的理论基础，并逐步引向其在控制理论、偏微分方程（PDEs）以及随机优化中的前沿应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为高等数理统计、随机分析、金融工程及应用数学的研究者和高年级研究生提供一部全面且富有洞察力的参考资料。 第一部分：随机分析基础与变分法的融合 本书伊始，首先回顾了必要的基础知识，确保读者对概率论、随机过程（特别是鞅论和伊藤积分）有坚实的理解。在此基础上，我们着重介绍了随机变分学的核心概念——如何在概率空间上定义和操作泛函的变分。 传统变分法依赖于光滑路径的导数和积分，但在随机世界中，路径通常是粗糙的，且具有不可预测的波动。因此，本书引入了Wong-Zakai定理和Malliavin微积分作为工具。Malliavin微积分，特别是其对随机变量的“梯度”和“散度”的定义，为在无限维空间中进行变分计算提供了必要的工具。我们将详细探讨如何利用这些工具来定义随机泛函的变分导数，并阐述其与经典变分导数在特定极限下的联系。 关键主题包括： 1. 伊藤积分与随机微分方程（SDEs）的解的路径性质： 探讨路径的正则性及其对变分计算的影响。 2. 随机拉格朗日量和哈密顿量： 借鉴经典力学框架，构建随机动力系统的变分原理，这是理解随机系统演化轨迹的关键。 3. 随机最优控制的变分形式： 将随机系统转化为变分问题，为后续的求解打下基础。 第二部分：随机最优控制与庞特里亚金最小原理 随机控制理论是本书的核心应用领域之一。当系统动力学受到随机扰动时，如何设计最优的控制策略以最小化（或最大化）某种性能指标，是极具挑战性的问题。本书采用了动态规划和变分法两种互补的视角进行阐述。 动态规划方法引出了著名的随机哈密顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。HJB方程是一个非线性偏微分方程，其解与最优价值函数直接相关。我们深入分析了HJB方程的结构特性，并讨论了其在连续时间框架下的求解方法。 变分方法则侧重于推导随机庞特里亚金最小原理（Pontryagin's Minimum Principle, PMP）。PMP是随机最优控制问题的必要条件。本书详细展示了如何利用随机分析的工具（如伴随变量或协态方程）来导出适用于随机系统的 PMP。这通常涉及将控制问题转化为一个涉及随机最优轨迹和伴随变量的轨迹的极值问题。我们将对比PMP与HJB方法的优劣，并展示两者在特定条件下的联系与一致性。 第三部分：随机变分与偏微分方程的深刻关联 随机分析与偏微分方程之间的联系是现代数学研究的热点。《随机变分的微积分》深入挖掘了这一桥梁，特别是通过随机热方程和随机泊松方程等模型。 本书探讨了随机势论的概念，并展示了随机变分原理在推导具有随机系数或随机源项的偏微分方程中的作用。例如，通过最小化一个描述系统能量的随机泛函，我们可以推导出描述该系统演化的随机偏微分方程。这种方法在建模界面现象、随机扩散过程以及随机介质中的波动问题时尤为强大。 此外，我们还将介绍随机伽辽金方法和随机有限元方法在求解此类方程时的变分基础，这对于数值模拟至关重要。 第四部分：前沿主题：随机场与随机场上的变分 最后一部分将视角提升到更抽象的层面，探讨随机场上的变分学。这涉及到对无限维概率空间上的泛函进行微分和积分。在这里，Malliavin微积分的威力得以充分展现。 我们探讨了高斯场上的随机变分，例如在研究高斯随机场的平滑性、耦合和统计推断时，随机梯度和切线空间的概念是不可或缺的。这一部分内容对理论物理学（如量子场论中的路径积分）、随机几何以及高维数据分析中的变分推断具有直接的理论意义。本书致力于阐明，随机变分的工具不仅是解决随机微分方程的辅助手段，更是理解和分析随机系统的内在结构和优化特性的核心语言。 通过对这些深层次主题的系统梳理，《随机变分的微积分》旨在为读者提供一个全面且精深的视角，理解随机性如何重塑了经典的变分原理，以及这些新原理如何驱动着现代科学和工程领域中复杂系统的建模与控制。本书的深度和广度使其成为该领域内一本不可或缺的参考书。

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