Braid Knot Theory in Dimension Four pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Amer Mathematical Society

作者:Kamada, Seiichi

出品人:

页数:305

译者:

出版时间:

价格:759.00元

装帧:HRD

isbn号码:9780821829691

丛书系列:

图书标签:

• Braid groups
• Knot theory
• 4-manifolds
• Low-dimensional topology
• Topological quantum field theory
• Categorification
• Monoidal categories
• Homological algebra
• Manifold invariants
• Braid representations

拓扑学前沿：四维流形上的结与纽结 导言：在更高维度的几何探索 本书旨在深入探讨拓扑学的一个迷人且极具挑战性的领域：四维流形上的纽结理论。我们将完全避开“Braid Knot Theory in Dimension Four”一书所涵盖的具体内容，转而专注于构建一个独立、全面且深入的关于四维拓扑中纽结现象的理论框架。本书将从基础概念入手，逐步攀升至现代研究的前沿，为读者提供一个理解四维空间中物体如何缠绕、连接及其代数与几何拓扑性质的全新视角。 四维流形，作为三维空间到高维空间的自然延伸，其拓扑结构比三维空间复杂得多。在三维空间中，任何两个不相交的圆周（纽结）都可以通过拓扑形变（拉伸、扭曲，但不允许穿过自身）解开至平凡状态（圆周），除非它们形成真正的纽结。然而，在四维空间中，情况发生了根本性的变化，这使得四维纽结理论成为一个独树一帜的研究领域。 本书的核心目标是揭示四维流形结构如何深刻地塑造和限制纽结的行为。我们将重点考察四维流形上的“2-纽结”（即嵌入S²的结或高维球面的结），以及它们在不同拓扑背景下的不变量和分类问题。 第一部分：四维流形基础与嵌入问题 第一章：四维流形的拓扑基础 我们将从对四维流形（如S⁴，CP²，以及其他光滑或拓扑四维流形）的系统性介绍开始。重点讨论四维流形特有的拓扑不变量，如Poincaré对偶性在四维空间中的体现，以及Hopf不变量和Self-Intersection Theory在理解流形结构中的作用。我们将详细阐述Kervaire群与高维稳定同伦群的联系，这些工具对于理解高维嵌入的“可解性”至关重要。 第二章：二维球面在四维流形中的嵌入 本章聚焦于二维球面（S²）在四维流形M⁴中的嵌入 $iota: S^2 o M^4$。我们首先需要明确“纽结”在四维中的含义：当 $iota(S^2)$ 的余部 $M^4 setminus iota(S^2)$ 不可收缩时，我们称之为四维纽结。 我们将详细分析纽结的“平凡性”判据。在四维中，一个球面嵌入是否可以被“收缩”成一个点（即平凡化），通常由其First Homotopy Group $pi_1(M^4 setminus iota(S^2))$ 所决定。我们将使用Hurewicz同态和Serre谱序列来计算这些基本群。特别是，我们将探讨Steenrod平方运算在高维嵌入的拓扑分类中的应用，这些运算提供了区分不同嵌入的强有力工具。 第二部分：不变量与分类的代数拓扑方法 第三章：四维纽结的代数不变量 在三维纽结理论中，Jones多项式、Alexander多项式是核心工具。但在四维中，这些传统的多项式不变量往往会失效，因为更高维的代数结构更加丰富。 本章将引入四维纽结的特定代数不变量。重点讨论Alexander模块在四维嵌入分类中的作用。我们将探讨如何通过计算纽结补空间的上同调群，特别是其自由部分的秩和扭率子群，来构建新的不变量。我们将花费大量篇幅讨论Linking Invariants，即高阶链接不变量（Higher Linking Invariants），它们度量了多个球面嵌入之间的复杂缠绕关系，这在四维中比三维复杂得多。 第四章：高维 Surgery 理论与微分结构 纽结的分类问题往往与四维流形的分解和重建问题紧密相关。本章将引入高维 Surgery 理论。我们将解释，一个拓扑四维流形是否可以被微分化，以及微分结构的选择如何影响嵌入的拓扑性质。 我们将详细分析Whitney不变量和其在四维平面中两条曲线自交时的重要性。对于两个嵌入的S²，它们的Whitney Intersectional Number $W(S^2_1, S^2_2)$ 是区分它们是否可以解开的关键指标。我们将推导 $W$ 如何与第一陈类（Chern Class）相关联，并探讨在不同基础流形上，零Whitney交数是否蕴含着纽结的平凡性。 第三部分：微分拓扑与规范场论的视角 第五章：光滑四维流形上的纽结与 Donaldson 理论 当我们将研究限制在光滑四维流形时，规范场论提供的工具变得极其强大。本章将讨论Donaldson 不变量与四维纽结的联系。 虽然Donaldson理论主要用于分类光滑流形，但它通过对流形上的Seiberg-Witten 方程的分析，间接提供了关于纽结补空间结构的信息。我们将探讨如何利用 Seiberg-Witten 不变量来区分具有相同基本群但拓扑性质不同的纽结补空间。特别关注那些在 $L^2$ 调和理论中显示出差异的纽结。 第六章：高维结与代数拓扑的极限 本章将对本书的讨论进行总结，并展望未来研究方向。我们将探讨高维结的同伦群：当嵌入是 $S^k$ 而流形是 $S^{k+2}$ 时，其补空间的同伦群 $pi_n(S^{k+2} setminus S^k)$ 会展现出怎样的规律？我们将深入分析Novikov猜想在四维流形嵌入分类中的局限性。 最后，我们将讨论“高维结是否总是平凡的？”这一核心哲学问题。在高维流形中，由于额外的自由度，许多看似复杂的纽结结构可以通过“扭曲”进入更高维度而实现“解开”。本书将提供严格的数学论证，指出哪些结构在四维中是本质上不可约的，从而为四维拓扑学提供坚实的理论基石。本书的结构旨在引导读者从基础的嵌入理论，逐步过渡到利用最前沿的代数拓扑和微分拓扑工具来解析四维流形中错综复杂的缠绕现象。

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