具体描述
深度探索：代数、几何与分析的基石——《高等数学原理与应用》 本书定位： 本书旨在为对数学有浓厚兴趣，并希望在传统基础数学（如代数、几何）之上建立起更深层次、更具应用性的分析思维的读者提供一本详尽的、侧重原理与应用的教材。它并非对初级代数或基础算术的简单重复，而是将读者的数学视野向前推进，聚焦于微积分思想的萌芽、严谨的逻辑推理，以及数学在现代科学中的核心作用。 --- 第一部分：抽象代数的序章与数系的扩展 本部分将读者从熟悉的整数和有理数体系中抽离出来，引入更广阔的代数结构视野。我们不假定读者对《Basic Mathematics 9th Edition》中的基础运算有任何先验依赖，而是从集合论的基本概念出发，构建起现代数学的逻辑骨架。 第一章：集合论与逻辑基础的重建 本章深入探讨集合的构造、运算（并、交、差、补集）以及集合之间的关系（子集、幂集）。我们引入集合论的语言，为后续的函数、关系和结构的描述奠定严谨的基础。重点放在朴素集合论的初步应用，讨论如何用集合来定义数字系统。此外，本章将详细阐述数学证明的结构，区分演绎推理、归纳推理和反证法，并提供大量的逻辑谬误分析案例，确保读者能清晰地理解数学陈述的有效性。 第二章：数系的完备性与序关系 超越整数和有理数，本章的核心在于实数系统的构建。我们不直接给出实数轴，而是通过构造性的方法（如戴德金分割或柯西序列）来定义无理数，强调实数集的完备性。完备性是微积分能够成立的关键，我们在此处进行充分的铺垫。随后，章节深入探讨实数上的序关系、上确界（Supremum）和下确界（Infimum）的概念，这些工具是分析学中极限思想的先导。 第三章：基础抽象代数结构 本章将视野转向代数结构本身。我们介绍群（Group）的基本定义（封闭性、结合律、单位元、逆元），这是代数研究的基石。通过对对称群、循环群的实例分析，读者可以理解抽象代数如何从具体的运算中提炼出普适的规律。我们还会初步探讨环（Ring）和域（Field）的结构，将熟悉的加法和乘法运算置于更宏大的结构框架中进行审视。 --- 第二部分：欧几里得空间中的几何与代数融合 本部分的目标是将几何直觉与代数工具相结合，为理解高维空间和向量分析做好准备。 第四章：解析几何的深化：二次曲线与极坐标 本章不再仅仅停留在抛物线和椭圆的标准方程上，而是侧重于一般二次型的分析。通过研究二次方程 $Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$ 的判别式，我们学习如何通过旋转和平移坐标系来消除交叉项，将其化为标准形式，从而揭示其几何本质。极坐标系被引入，用于处理具有旋转对称性的问题，并为后续的微积分中的极坐标积分打下基础。 第五章：线性代数导论：向量空间与线性变换 这是本书的核心过渡章节之一。我们严格定义向量空间及其基（Basis）的概念，将向量从二维和三维的几何实体扩展到任意有限维空间。我们将详细阐述线性变换的定义，并展示如何用矩阵来表示这些变换，包括矩阵的乘法、行列式的性质及其与变换的几何意义（如面积或体积的缩放因子）之间的关系。对特征值和特征向量的初步讨论，将为系统动力学分析提供必要的数学工具。 第六章：三维空间的解析方法与四元数简介 本章专注于三维欧几里得空间 $mathbb{R}^3$。我们引入向量积（叉积），并探讨其在计算平面法向量、力矩等物理量中的应用。空间直线和平面的参数方程与法向量方程将被细致分析。最后，作为对更高级代数结构的展望，本章将简要介绍四元数（Quaternions），展示它们如何在不涉及复杂矩阵运算的情况下，优雅地表示三维空间中的旋转，为计算机图形学和物理建模做思维导引。 --- 第三部分：分析的开端——极限、连续性与微分的严谨定义 本部分是全书的理论高潮，旨在建立起微积分的坚实逻辑基础，强调“为什么”而不是仅仅“如何”计算。 第七章：极限理论的严谨基础 本章是本书分析部分的起点。我们完全避开直观的“无限接近”描述，转而采用$epsilon-delta$ 语言来严格定义序列的极限和函数的极限。大量的习题将用于训练读者对这一语言的精确应用。我们还将讨论极限的代数性质，以及如何利用夹逼定理（Squeeze Theorem）和单调收敛定理来证明极限的存在性。 第八章：连续性与一致连续性 基于第七章的极限概念，我们定义函数的连续性。重点在于理解在何种程度上函数的变化是“平滑”的。本章深入探讨连续函数的关键性质，例如介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理（Extreme Value Theorem），这些都是在进行优化和存在性证明时不可或缺的工具。我们还将区分局部连续性和一致连续性，后者对于积分和微分的收敛性至关重要。 第九章：微分的定义与导数的应用原理 本章将导数定义为函数在某一点上的极限，并严格证明基本微分法则（如乘法定律、链式法则）。我们不侧重于复杂函数的求导技巧，而是将重点放在导数的物理和几何意义上：瞬时变化率和切线斜率。此外，我们讨论洛必达法则（L'Hôpital's Rule）的严格推导，并将其作为解决未定式极限问题的有力工具。本章结论部分将简要概述微分在近似计算中的作用，为下一阶段的积分学做好思维过渡。 --- 本书特色总结： 《高等数学原理与应用》强调从基本公理出发进行逻辑推演，深度剖析数学概念背后的结构和原理。它要求读者具备成熟的逻辑思维能力，并乐于接受对传统算术知识进行更高层次抽象的挑战。本书的结构确保了读者在掌握代数和几何工具的同时，能够理解分析学（微积分）的严密基础，为后续进入实分析、拓扑学或应用数学领域打下坚不可摧的理论基石。
作者简介
目录信息
读后感
评分
评分
评分
评分
评分
用户评价
评分
评分
评分
评分
评分
相关图书
本站所有内容均为互联网搜索引擎提供的公开搜索信息，本站不存储任何数据与内容，任何内容与数据均与本站无关，如有需要请联系相关搜索引擎包括但不限于百度，google,bing,sogou 等
© 2026 book.quotespace.org All Rights Reserved. 小美书屋 版权所有