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出版者:SPRINGER A PR TRADE

作者:Forerster, P. A.

出品人:

页数:784

译者:

出版时间:2002-1

价格:$ 84.69

装帧:精装

isbn号码:9781559533911

丛书系列:

图书标签:

• Precalculus
• Trigonometry
• Mathematics
• High School
• College Prep
• Functions
• Graphs
• Algebra
• Calculus Preparation
• STEM
• Education

《微积分预备与三角学：深入探究函数与几何的桥梁》 本书简介 本书旨在为读者构建坚实的数学基础，是通往高等微积分学习的完美垫脚石。我们精心设计了一套结构清晰、内容详实的课程体系，侧重于对函数概念的深刻理解、代数运算的精湛掌握，以及三角学在平面与空间中的广泛应用。我们相信，只有彻底掌握了预备微积分阶段的核心知识，才能在面对更抽象的微积分概念时游刃有余。 第一部分：代数基础的巩固与深化 本部分将对高中代数中至关重要的概念进行系统回顾与提升，确保读者具备处理复杂代数表达式的必备技能。 第一章：函数与图像的全面解析 本章伊始，我们将严谨地定义“函数”的概念，区分函数与非函数的关键判据（如垂直线检验）。重点讨论函数的域（Domain）与值域（Range）的确定，这是后续所有分析的基石。我们将系统考察各类基本函数： 线性函数： 从斜率-截距式到点斜式，深入理解斜率的几何意义及其在实际问题中的应用，如速率和变化率的初步概念。 二次函数： 探讨抛物线的标准形式、顶点形式和一般形式之间的转换。通过配方法，精确确定抛物线的顶点、对称轴和最大/最小值，并将其应用于优化问题。 多项式函数： 深入研究高次多项式的行为。引入零点（根）的概念，使用因式定理和余数定理来寻找多项式的有理根。通过分析领先项系数和奇偶性，预测函数图的远端行为（End Behavior）。此外，我们将详细介绍如何利用图形计算器或软件辅助分析多项式的实际根。 第二章：函数操作与变换 函数不仅是静态的图形，更是可以被操作和转换的对象。本章聚焦于如何对函数进行代数和几何上的修改： 基本变换： 垂直平移、水平平移、垂直伸缩和水平伸缩。通过直观的图形演示，解释对 $f(x)$ 内部和外部参数的改变如何影响其图像。 复合函数： 详细阐述复合函数 $f(g(x))$ 的定义、求值和求域。重点讨论函数的可逆性，并引入“一元对一函数”（One-to-One Function）的概念。 反函数： 严格定义反函数的存在条件，并提供求反函数的标准步骤。探讨函数与其反函数图像之间的几何关系（关于直线 $y=x$ 的对称性）。 第三章：有理函数与渐近线的艺术 有理函数（两个多项式的比值）是微积分中处理比率和极限问题的关键。本章致力于解剖有理函数的复杂结构： 分解与简化： 学习如何对多项式进行长除法和综合除法，以便将复杂有理函数分解为多项式部分和真有理分式部分。 渐近线分析： 这是本章的核心。区分垂直渐近线（由分母的零点引起）和水平/斜渐近线（由分子和分母的次数关系决定）。掌握如何准确描绘这些渐近线，并分析函数在接近这些线时的逼近行为。 有理方程的求解： 学习如何识别和处理在求解过程中可能引入的“增根”（Extraneous Solutions），确保最终解的有效性。 第四章：指数、对数与增长模型 本部分将读者带入描述自然界中快速变化现象的领域。 指数函数： 探讨以常数 $e$ 为底的自然指数函数 $e^x$ 的特殊性质，理解其在连续复利和指数增长/衰减模型中的核心地位。 对数函数： 将对数定义为指数的逆运算。详细介绍换底公式及对数的基本性质（乘积、商和幂的性质）。 应用模型： 专注于实际应用，如人口增长、放射性碳定年法（半衰期计算）以及金融领域的连续复利问题。学习如何通过数据点拟合指数或对数模型。 第二部分：三角学的几何与代数统一 本部分将三角学从单纯的直角三角形计算提升到关于圆周运动和周期现象的广阔领域。 第五章：三角函数的角度与定义 本章构建了三角学的基本框架。 角度的度量： 详细比较角度的度（Degrees）和弧度（Radians）制。熟练掌握两者间的相互转换，并理解弧度制在微积分中的优越性。 单位圆： 引入单位圆（Unit Circle）作为三角函数（正弦、余弦、正切及其倒数）的直观定义基础。通过单位圆，读者将能够精确地确定任意特殊角的三角函数值，并理解这些函数是周期性的。 三角函数的图象： 描绘 $y=sin(x)$ 和 $y=cos(x)$ 的标准波形。分析振幅、周期、相位平移（横向位移）和垂直平移如何影响这些基本波形。 第六章：三角恒等式的推导与应用 恒等式是简化和求解三角方程的工具箱。本章强调从基本定义出发，系统地推导出更复杂的恒等式。 基本与毕达哥拉斯恒等式： 从单位圆上的 $x^2+y^2=1$ 导出 $sin^2 heta + cos^2 heta = 1$ 等基本关系。 和差角公式： 详细推导 $sin(alpha pm eta)$ 和 $cos(alpha pm eta)$ 的公式，并演示它们如何应用于求和、求差角的值。 倍角与半角公式： 基于和角公式，系统推导出 $sin(2 heta)$ 和 $cos(2 heta)$ 的表达式，并展示半角公式在简化根式表达式中的强大作用。 化简与证明： 给出大量的练习，要求读者通过代数操作和恒等式替换来化简复杂的三角表达式，并严格地证明一个三角方程是否为恒等式。 第七章：解三角形与向量初步 三角学在测量学和物理学中的直接应用。 正弦定理与余弦定理： 针对任意三角形（非直角三角形），系统介绍如何使用正弦定理（AAS, ASA, SSA情况）和余弦定理（SAS, SSS情况）来求解未知边和角。特别关注SSA情形中可能出现的“二解”问题。 向量的表示与运算： 在二维平面内引入向量的概念，将其表示为分量形式 $langle x, y angle$。学习向量的加法、减法和标量乘法。引入向量的点积（Dot Product），并探讨其在求解两向量夹角和判断正交性方面的应用。 第八章：求解三角方程与应用 本章将函数、图像和恒等式结合起来，解决周期性的实际问题。 求解周期性方程： 学习求解涉及单个三角函数的方程，例如 $2sin(x) - 1 = 0$。重点在于找到“一般解”，即包含周期性的所有解的表达式。 利用恒等式求解复杂方程： 处理包含多个三角函数或多个角度的复杂方程，此时必须依赖恒等式将其简化为可解的基本形式。 振荡问题的建模： 将正弦和余弦函数应用于描述周期性现象，例如弹簧的振动、潮汐变化或交流电的电压波动。读者将学习如何根据物理描述确定函数的振幅、周期和相位偏移。 总结 本书的结构确保了从基础代数到高级三角恒等式的无缝衔接。通过大量的例题解析和富有挑战性的练习，读者不仅能熟练运用公式，更能理解这些数学工具背后的几何和代数原理，为未来学习微积分中极限、导数和积分的抽象概念打下坚实、清晰的基础。本书内容聚焦于函数行为的精确描述、三角关系的内在统一性以及代数操作的严谨性。

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