An Introduction to the Geometry of Numbers pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Cassels, J. W. S.

出品人:

页数:360

译者:

出版时间:1997-2

价格:$ 79.04

装帧:Pap

isbn号码:9783540617884

丛书系列:Classics in Mathematics

图书标签:

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• 几何数论
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• 体积
• 闵可夫斯基定理
• 保形映射
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• 几何

欧几里得的遗产与现代数学的基石 一部关于空间、结构与算法的深度探索 本书并非聚焦于数论的经典分支——“数的几何”（Geometry of Numbers），而是以一种更广阔的视角，审视几何学原理如何在现代数学的诸多领域中扮演核心角色。它是一部旨在揭示空间结构、拓扑形态以及代数关系之间深刻联系的著作，适合那些对纯粹数学的构建美学和深层逻辑感兴趣的读者。 第一部分：基础概念的重塑——超越欧几里得的直觉 本书的第一部分将基础几何概念置于更严格的分析框架之下。我们首先摒弃了传统高中几何中依赖直觉的“量度”概念，转而从集合论和拓扑学的角度重构空间。 1. 拓扑空间的本质：连续性与形变 我们深入探讨了拓扑学作为“橡胶片几何学”的内在逻辑。重点不在于距离的精确计算，而在于拓扑性质的保持——哪些属性在连续形变下是不变的？我们将解析邻域、开集与闭集的定义，并以此为基础，构建出度量空间（Metric Spaces）的必要前提。书中详尽讨论了紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）的拓扑意义，它们如何决定了一个空间在本质上是“完整”还是“破碎”的。一个重要的章节将专门分析完备性（Completeness）的概念，展示为什么巴拿赫空间（Banach Spaces）在分析学中具有不可替代的地位。 2. 黎曼几何的引子：曲率与测地线 抛开高斯对曲面的直观描述，我们将从微分几何的语言切入，定义光滑流形（Smooth Manifolds）。本书将解析切空间（Tangent Spaces）的概念，这是连接代数与几何的桥梁。我们引入度量张量（Metric Tensor）来量化流形上的局部几何结构。着重分析测地线（Geodesics）——流形上的“最短路径”，并探讨爱因斯坦引力理论中时空曲率的数学基础，尽管我们不涉及物理定律本身，但对黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的代数结构将进行详尽的分解和计算练习。 第二部分：线性代数与几何的交汇点 本部分聚焦于线性代数如何提供理解高维空间的语言，以及这种语言如何影响了所有现代数学分支。 3. 向量空间与仿射几何 向量空间（Vector Spaces）被视为几何对象的基础骨架。我们不仅复习了基、维度和线性映射，更重要的是，我们将探讨仿射空间（Affine Spaces）。仿射空间与向量空间的不同之处在于它缺乏一个原点，这在描述几何变换（如平移）时至关重要。本书将详细阐述仿射变换的性质，并展示它如何自然地过渡到射影几何（Projective Geometry）。 4. 张量代数：多线性关系的几何表达 本书将深入到张量（Tensors）的世界，将其视为对向量空间上多重线性形式的系统化表达。我们将区分协变（Covariant）和反变（Contravariant）张量，并解释它们在坐标变换下的行为。通过张量积的构建，读者将理解如何用代数对象来描述复杂的几何关系，例如曲率，而这些描述独立于任何特定的坐标系选择。我们将通过研究外代数（Exterior Algebra）和楔积（Wedge Products）来处理积分几何中的“广义体积”概念。 第三部分：离散结构与组合几何 与连续的流形理论相对，本书的后半部分转向了离散结构，探讨几何思想在组合学中的应用。 5. 多面体的组合拓扑 我们将分析多面体（Polyhedra）的结构，不仅仅是其欧几里得尺寸，而是其组合结构。关键在于欧拉示性数（Euler Characteristic）的计算及其拓扑不变性。书中将详细介绍单纯复形（Simplicial Complexes）的构造，并将其作为构建更复杂拓扑空间的基本构件。我们会探讨施瓦茨与戴尔尼的定理（Schwartz and Dehn Invariants），这些不变量揭示了在组合层面，即使两个多面体拥有相同的体积，它们在“折叠性”上仍可能存在本质差异。 6. 图论的几何嵌入与平面图 图论（Graph Theory）被视为离散空间的一种基本模型。本书将分析图的嵌入问题——如何在平面或其他曲面上无自交地绘制一个图。我们将深入探讨库拉托夫斯基定理（Kuratowski's Theorem）及其与平面图的直接联系。此外，还会涉及对偶图（Dual Graphs）的概念，以及它们在描述网络结构和物理晶格时的几何作用。 结语：几何思维的普适性 全书贯穿着一个核心思想：几何学不是关于测量，而是关于结构、关系和不变量。从微分流形的无限小切片，到离散图的有限连接，本书旨在为读者提供一套统一的几何化工具箱，用以理解现代数学和理论物理中各种看似不相关的领域背后的深层空间逻辑。它要求读者具备扎实的线性代数基础，并愿意接受抽象概念的挑战，最终目标是培养一种对空间和结构进行深刻洞察的思维模式。

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