Euclid and His Twentieth Century Rivals pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Univ of Chicago Pr

作者:Miller, Nathaniel/ Barker-Plummer, Dave (EDT)

出品人:

页数:119

译者:

出版时间:

价格:240.00元

装帧:Pap

isbn号码:9781575865089

丛书系列:

图书标签:

• Euclid
• Geometry
• History of Mathematics
• Non-Euclidean Geometry
• Mathematical Foundations
• Axiomatic Systems
• Mathematics
• Science
• 20th Century Mathematics
• Mathematical Analysis

几何学的黄昏与新纪元的曙光：20世纪数学的革命浪潮 一窥人类理性基石的颠覆与重塑 本书带领读者深入探索20世纪初，欧洲数学界经历的那场波澜壮阔、彻底颠覆了自古希腊以来被奉为圭臬的欧几里得几何体系的伟大革命。这不是一部关于特定几何学派的历史叙事，而是一场对“真理”本质的哲学拷问，一次对数学确定性边界的勇敢试探。我们将聚焦于那些挑战传统、开辟新路的数学巨匠，以及他们如何用全新的视角和严谨的逻辑，构建起一个远比平面和立体更为广阔、更加丰富的数学宇宙。 第一部分：旧秩序的裂痕——非欧几里得几何的遗响与新思潮的酝酿 在步入20世纪的门槛时，欧几里得的《几何原本》虽然仍是学校教育的标准范本，但其第五公设——平行线公设——的“可疑性”早已成为数学界一个挥之不去的幽灵。尽管高斯、罗巴切夫斯基和鲍耶的非欧几里得几何已经问世数十年，并在纯数学领域获得了认可，但它们对物理世界和传统思维方式的冲击才刚刚开始显现。 本书细致考察了这种范式转移如何从理论的象牙塔走向更广阔的数学应用领域。我们探讨了黎曼几何在广义相对论中扮演的关键角色，尽管爱因斯坦的工作在20世纪初尚处于萌芽阶段，但黎曼曲面理论和张量分析的成熟，为后来的物理学革命提供了不可或缺的数学语言。 同时，我们也会审视19世纪末“形式主义”的兴起。以皮亚诺和德德金为代表的数学家们，开始将数学的焦点从对“实在对象”的直观认识，转向对公理系统和逻辑推导的纯粹关注。这种对基础的重新审视，为即将到来的集合论危机和数学基础争论埋下了伏笔。 第二部分：逻辑与集合的深渊——基础危机与形式化的尝试 20世纪的数学革命，其核心冲突并非发生在空间概念上，而是在数学的“根基”——逻辑与集合论的领域。本书将重点剖析“基础危机”——由罗素悖论等集合论怪象引发的巨大震动。一夜之间，建立在朴素集合论之上的宏伟数学大厦似乎摇摇欲坠。 我们详述了三大主要流派对危机的应对： 1. 逻辑主义的宏伟蓝图： 聚焦于弗雷格和后来的怀特海与罗素的《数学原理》。他们试图将全部数学还原为逻辑学。本书深入分析了这一尝试的雄心壮志、精妙的构建，以及最终因其自身定义的复杂性（如类型论的引入）而在实际操作中遇到的巨大阻力。 2. 直觉主义的哲学抵抗： 探讨布劳威尔及其追随者对传统逻辑（如排中律）的彻底拒绝。我们考察了直觉主义如何坚持数学对象的“构造性”——一个数学对象只有在可以被明确构造出来时才被认为是“存在”的。这种对构造性证明的坚持，在分析学和拓扑学中催生了全新的、更具建设性的证明方法。 3. 形式主义的坚固堡垒： 希尔伯特的目标是证明现有数学（特别是基于形式系统）的“无矛盾性”和“完备性”。我们详尽描述了希尔伯特纲领的巨大抱负，即希望为整个数学建立一个绝对可靠的、机械可验证的基础框架。这一部分将细致铺陈，为下一阶段哥德尔的介入埋下伏笔。 第三部分：新维度的开拓者——拓扑学与抽象代数的崛起 在基础研究陷入僵局的同时，数学的其他分支却以前所未有的速度发展，它们更注重于研究对象在变换下的“不变性”，从而开辟了全新的研究领域。 拓扑学的“橡皮擦几何”： 本书将拓扑学（或称“点集几何”）的兴起视为对欧氏空间直观概念的进一步解放。我们关注庞加莱如何通过“同调群”的概念，将研究对象的“洞”和“连通性”抽象化，从而能够区分一个球体和一个甜甜圈。这种研究拓扑不变量的方法，极大地拓宽了数学家对空间结构的理解。 代数的抽象化浪潮： 20世纪初，代数学完成了从“解方程”到“研究结构”的根本转变。我们追溯了群论（由伽罗瓦的早期工作奠基）如何在新数学范式中占据核心地位。从抽象群的结构研究，到环、域、模等概念的建立，本书描绘了布尔巴基学派如何通过推广和统一的语言，将这些看似不相关的结构整合到统一的代数框架之下。 第四部分：理性边界的界定——哥德尔的终结与现代数学的格局 革命的顶峰，也是传统数学确定性尝试的终结，来自于哥德尔的里程碑式工作。本书将用清晰、不失严谨的方式，解析1931年“不完备性定理”的深刻含义。我们不聚焦于技术细节，而是阐明其哲学意义：它宣告了希尔伯特形式主义纲领的失败，证明了任何足够强大的形式系统，必然包含无法被证明也无法被证伪的真命题。 这一发现不仅为数学基础危机画上了一个句号，也深刻影响了后来的计算理论和人工智能的哲学基础。它标志着20世纪数学的一个关键转折点：数学家们接受了自身的局限性，并开始拥抱一个更具开放性和探索性的研究范式。 结论：一个永恒的探索过程 20世纪的数学革命并非是推翻了欧几里得，而是以更强大的工具和更深刻的洞察力，将人类的理性探索推向了前所未有的高度。本书旨在揭示，正是对旧有真理的质疑，才催生了全新的、更具解释力的数学结构，使我们对无限、实在与逻辑的理解达到了一个全新的、更加成熟的境界。这是一部关于勇气、逻辑、以及人类心智在面对自身限制时所展现出的非凡创造力的史诗。

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