具体描述
探索代数新视野：深入剖析《现代高等代数基础》 （一本关于抽象代数核心概念的权威性入门读物） 图书信息： 书名： 现代高等代数基础 (Fundamentals of Modern Abstract Algebra) 作者： 约翰·道林格 (Dr. John Dellinger) 出版社： 环宇学术出版社 (Global Academic Press) 出版年份： 2023年 页数： 780页 定价： ￥188.00 --- 内容概述 《现代高等代数基础》是一部面向数学专业本科生及研究生预备阶段读者的综合性教材，旨在为读者系统地构建起抽象代数理论的坚实框架。本书摒弃了传统的、纯粹依赖于具体计算的代数教学模式，转而聚焦于代数结构（如群、环、域）的本质属性、公理化定义以及它们在更广阔数学领域中的深刻联系。 本书的结构经过精心设计，力求在理论的严谨性与教学的直观性之间取得完美平衡。我们深知，抽象代数的概念往往初看起来较为抽象，因此，每引入一个新的结构或定理，作者都辅以大量的实例、几何直观的类比，以及与线性代数、数论等分支的联系，确保读者不仅“知道是什么”，更能理解“为什么是这样”。 核心章节深度解析 全书共分为七大部分，涵盖了现代代数研究的基石内容。 第一部分：预备知识与集合论基础 (Chapters 1-3) 本部分首先回顾了读者在初等代数和离散数学中应当掌握的必要集合论知识，包括等价关系、划分、函数类型（单射、满射、双射）的严谨定义。随后，引入了二元运算的概念，并详细讨论了运算的性质，如结合律、分配律、交换律等。重点在于建立读者对“结构”的初步感知，为后续的群论打下坚实的逻辑基础。 特色亮点： 引入了“代数结构图谱”的概念，用可视化的方式展示不同性质的运算如何催生出不同的代数对象。 第二部分：群论的基石 (Chapters 4-8) 群论是本书的理论核心，占据了近三分之一的篇幅。 第4章：群的定义与基本性质：严格定义了群的四个公理，并通过具体的例子（如整数加法群、非零有理数乘法群、对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$）进行阐释。 第5章：子群、陪集与拉格朗日定理：本章是计算群论的起点。对子群的判别准则进行了详尽的讨论。拉格朗日定理的证明被分解为多个逻辑步骤，并详细探讨了其在计算群元素阶数和判断群结构中的应用。 第6章：正规子群与商群 (Factor Groups)：这是理解“结构”如何被“分解”的关键。作者用了专门的篇幅来解释“正规性”的直观意义——即子群的左陪集与右陪集相等。商群的构造被视为将原群“模去”一个子群（同余关系）的过程。 第7章：群同态与同构：从映射的角度深入理解群之间的结构保持关系。首次引入了第一同构定理，并将其视为群论中的“基本定理”。通过大量例子展示了同态映射如何揭示不同群之间的深层联系。 第8章：特殊群结构分析：聚焦于有限群的结构。详细介绍了循环群的性质，以及有限生成阿贝尔群的分类定理（虽然定理本身证明较为复杂，但本书提供了清晰的直观理解和应用指南）。 第三部分：群的进阶结构与应用 (Chapters 9-11) 本部分着眼于更复杂的群结构，特别关注其分解和作用。 第9章：Sylow定理：这是有限群理论中的里程碑。本书对 $p$-Sylow子群的存在性、数量和共轭性给出了详尽的代数拓扑证明（通常采用Cauchy-Frobenius引理的变体）。并展示了Sylow定理在判断群是否为可解群方面的威力。 第10章：群在集合上的作用 (Group Actions)：从几何和变换的角度理解群。详细讨论了轨道、稳定子、以及“轨道-稳定子定理”的推导过程。本章通过伯恩赛德引理（Burnside's Lemma）展示了如何用群作用来解决组合计数问题（如Polya计数法的基础）。 第11章：自由群与展示 (Free Groups and Presentations)：作为群论的终结，本章介绍了如何用生成元和关系来“展示”一个群的结构，为更高级的代数拓扑和几何群论做好铺垫。 第四部分：环论基础 (Chapters 12-15) 从群到环的过渡，重点在于引入两种二元运算的结构。 第12章：环的定义与例子：严格定义了环的公理，并区分了交换环、单位环、整环和域。书中对“零因子”和“单位元”的讨论尤为细致。 第13章：子环、理想与商环：理想（Ideals）被定义为环中的“特殊子群”，它们是环论中构造商环的基础。本章的证明强调了理想与环同态核之间的紧密关系（类比于群论中的正规子群）。 第14章：环同态与同构：展示了环结构是如何通过映射保持下来的，以及如何利用同构定理来简化复杂的环结构。 第15章：整环中的特殊结构：聚焦于整环，引入了整环中的“域”，并讨论了整环上的特殊性质，如主理想整环（PID）和唯一因子化整环（UFD）。 第五部分：数论与代数结构的交汇 (Chapters 16-17) 本部分将抽象理论与熟悉的数论问题相结合。 第16章：欧几里得整环：详细讨论了欧几里得域（如整数 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$）的性质。欧几里得算法在这些环中的推广被视为抽象结构如何解决具体计算问题的典范。 第17章：唯一因子化整环 (UFD)：探讨了为什么并非所有整环都是UFD（通过反例如 $mathbb{Z}[sqrt{-5}]$）。本书提供了判断一个环是否为UFD的有效工具。 第六部分：域论的初步探索 (Chapters 18-20) 域论是代数通往伽罗瓦理论的桥梁。 第18章：域与子域：讨论了域的特征（Characteristic），以及有限域（Galois Fields）的基本结构。 第19章：多项式环与因式分解：深入研究 $F[x]$ 上的因式分解、不可约多项式以及多项式环的商环构造。 第20章：域的扩张 (Field Extensions)：引入了扩张次数的概念，并讨论了有限扩张的构造。这是读者理解如何从有理数域 $mathbb{Q}$ 构造出更复杂的数域（如 $mathbb{Q}(i)$）的关键步骤。 第七部分：选讲与高级主题 (Chapter 21) 本章作为选读内容，简要介绍了主理想环 (PID) 的性质，并概述了结构定理（如有限生成阿贝尔群的分类定理和模的结构定理的雏形），为读者未来深入学习模块论或更深层次的伽罗瓦理论指明方向。 --- 本书特色与教学优势 1. 几何直观的引入： 每一个抽象概念（如群的共轭类、环的同构）都伴随着对线性代数中相似概念的类比，帮助学习者建立跨学科的理解。 2. 计算与理论的平衡： 虽然聚焦于抽象结构，但本书的习题设计巧妙，既包含理论证明题，也包含需要应用Sylow定理、欧几里得算法等工具来求解具体例子（如确定特定阶数的群结构）的计算题。 3. 严谨的符号体系： 全书采用现代数学标准符号，并附有专门的符号索引，确保读者能够无障碍地过渡到更专业的参考书。 4. 丰富的补充材料： 每一章末尾均设有“历史注记”和“进一步阅读”部分，引导读者了解概念的发展脉络和相关研究前沿。 《现代高等代数基础》致力于培养学生对数学结构的高度敏感性和抽象思维能力，是通往纯数学研究领域的必经之路。
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