Random Times and Enlargements of Filtrations in a Brownian Setting (Lecture Notes in Mathematics) pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Springer

作者:Roger Mansuy

出品人:

页数:158

译者:

出版时间:2006-02-10

价格:USD 44.95

装帧:Paperback

isbn号码:9783540294078

丛书系列:Lecture Notes in Mathematics

图书标签:

Stochastic analysis
Brownian motion
Filtrations
Enlargement of filtrations
Random times
Stopping times
Martingale theory
Probability theory
Mathematical finance
Stochastic processes

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具体描述

好的，这是一份关于一本未曾提及、内容完全不同的数学著作的详细介绍。 --- 随机过程与金融数学中的现代拓扑结构分析作者： [此处留空，以增强真实感] 出版社： [此处留空] 出版年份： [此处留空] 页数：约 600 页内容简介：本书深入探讨了高维随机微分方程（SDEs）解的路径空间上出现的复杂拓扑结构，特别是针对具有奇点的非线性系统。它旨在填补经典概率论与现代几何分析之间的一个重要鸿沟，为研究随机动力系统的长期行为和稳定性提供了全新的理论框架。第一部分：随机系统的几何基础与正则性本书的开篇建立在随机流的局部性质之上。作者首先详尽阐述了李导数在随机流上的作用，并引入了随机切空间的概念。这不仅仅是关于SDE解的经典李群理论的延伸，而是着重于路径空间 $mathcal{C}([0, T], mathbb{R}^d)$ 上的Sobolev空间结构。核心内容聚焦于随机曲率张量的定义与计算。与经典的黎曼几何不同，此处的曲率是随机的，依赖于布朗运动的路径实现。我们详细分析了当扩散系数依赖于状态变量时，如何通过随机共形变换来简化这些张量，使其更易于处理。特别地，对于一类特定的抛物型非线性SDEs，我们证明了其解的路径集合在适当的概率测度下收敛到一个具有特定“粗糙”边界的拓扑空间，这一结果在随机控制理论中具有深远意义。第二部分：粗糙路径与路径积分的拓扑收敛第二部分将读者的注意力转向了粗糙路径理论（Rough Path Theory）的现代发展，但视角独特地聚焦于路径积分在极端时间尺度上的极限行为。传统上，粗糙路径理论处理的是对数凸性等代数结构，而本书则利用Hadamard 连续性定理的随机版本，研究当路径的“粗糙度”参数 $alpha$ 趋于零时，积分的拓扑稳定性。书中引入了随机度量 $mathcal{D}_{alpha}$，它衡量了路径偏离布朗运动的程度。我们证明了，在 $mathcal{D}_{alpha}$ 范数下，解的路径收敛到确定性系统的解，其误差项不再是简单的 $O(alpha)$，而是依赖于高阶的迭代积分的拓扑刚性。为了精确捕捉这种刚性，作者构建了一套新的“分形维数”来描述随机轨迹的局部几何复杂性。这一工具的应用延伸到了随机微分方程的解对初始条件的敏感性分析，特别是证明了在某些条件下，解集对初始条件的依赖性不是连续的，而是具有可数无限个不连通分支的拓扑结构。第三部分：随机动力系统中的不变测度与能层本书的高潮在于连接随机动力系统的不变测度与路径空间的拓扑性质。我们研究了随机动力系统的Lyapunov指数，并将其与路径空间上的测度拓扑熵联系起来。一个关键的突破在于对随机稳定流形的刻画。传统上，稳定流形是光滑的。然而，在随机扰动下，这些流形表现出高度的“抖动”性。本书通过引入随机层流（Stochastic Layered Flows）的概念，将流形分解为一系列嵌套的、具有不同概率密度的子流形。我们证明了，对于满足特定条件的非紧致随机系统，其不变集可以被精确地描述为这些层流的边界点集的拓扑闭包。更具挑战性的是对能层（Energy Levels）的分析。在没有势能函数的随机系统中，如何定义“能量”？作者巧妙地定义了基于对数概率密度梯度的随机能函数，并利用Morse-Sutro理论的随机推广，揭示了这些能层是如何在路径空间中形成拓扑障碍的。这些障碍决定了系统从一个吸引子跳跃到另一个吸引子的稀有事件概率，提供了对随机共振现象的深刻几何解释。结论与展望：本书的结论部分总结了新的拓扑不变量——随机拓扑不变量（Stochastic Topological Invariants, STIs）——的有效性。这些不变量不仅能区分出拓扑结构上不同的随机系统，还能在概率意义上预测系统从一个拓扑状态到另一个拓扑状态的相变时间。本书为处理高维、高频数据中的随机拓扑特征提供了坚实的数学基础，并对量化金融建模中奇异风险的出现机制具有潜在的应用价值。本书的写作风格严谨，要求读者具备扎实的测度论、微分几何和随机过程的背景知识。 ---