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出版者:Springer

作者:Gyori, Ervin (EDT)/ Katona, Gyula O. H. (EDT)/ Lovasz, Laszlo (EDT)

出品人:

页数:405

译者:

出版时间:2006-05-05

价格:USD 125.00

装帧:Hardcover

isbn号码:9783540323778

丛书系列:

图书标签:

• 集合论
• 图论
• 数论
• 离散数学
• 组合数学
• 数学基础
• 高等数学
• 数学教材
• 数学科普
• 数学

离散数学的深度探索：代数、拓扑与计算的交织 本书《离散结构：代数、拓扑与计算》旨在为读者提供一套全面且深入的离散数学框架，重点关注那些在现代计算机科学、理论物理以及纯数学领域中发挥核心作用的结构和方法。我们避开了对集合论的常规罗列，转而将重点放在更具应用性和理论深度的领域——代数结构、拓扑空间的基本概念以及计算复杂性理论的数学基础。 全书共分为四个主要部分，每个部分都建立在清晰的数学定义和严谨的逻辑推导之上，旨在培养读者解决复杂抽象问题的能力。 --- 第一部分：抽象代数基础与编码理论 本部分聚焦于代数结构，但视角超越了基础群论和环论的初级介绍。我们从格理论（Lattice Theory）的视角重新审视布尔代数，探讨其在形式逻辑和电路设计中的应用。重点在于有界格（Bounded Lattices）的性质，以及如何利用同态定理（Homomorphism Theorems）来理解不同代数结构间的映射关系。 随后，我们深入到域论（Field Theory）的早期概念，特别关注有限域（Finite Fields），即伽罗瓦域 $mathbb{F}_q$ 的构造和性质。我们将详细阐述如何利用多项式环来构造这些域，这对于理解现代密码学（如椭圆曲线密码学的基础）至关重要。 紧接着，本书引入编码理论（Coding Theory）的数学骨架。我们将介绍线性分组码（Linear Block Codes），侧重于汉明码（Hamming Codes）的构造和完美性。从数学角度分析最小距离（Minimum Distance）的概念如何决定纠错能力，并引入伴随矩阵（Parity Check Matrices）和伴随（Syndromes）的计算，展示线性代数在信息保障中的直接应用。此部分不涉及具体的应用软件实现，而是完全专注于其背后的代数结构和信息论的数学约束。 --- 第二部分：拓扑空间的几何直觉与不动点理论 本部分将读者从纯代数的严谨性中引向更具几何直觉的拓扑学。我们避免了过于复杂的微分几何，而是专注于点集拓扑（Point-Set Topology）的核心概念，并将其与离散结构联系起来。 我们将从度量空间（Metric Spaces）出发，构建开集（Open Sets）、闭集（Closed Sets）和紧致性（Compactness）的严格定义。紧致性的探讨将侧重于其在分析学中的重要性，例如，它如何保证连续函数在闭区间上的最大值存在性。 随后，我们将引入同胚（Homeomorphism）的概念，并用它来区分不同拓扑空间的基本性质，例如，区分平面区域与环面（仅用拓扑工具）。 此部分的高潮在于不动点理论（Fixed Point Theory）的介绍。我们将详细讨论布劳威尔不动点定理（Brouwer Fixed-Point Theorem）的二维和三维版本，但不会深入到高维分析或代数拓扑。重点在于理解该定理如何作为一种存在性论证工具，在经济学和博弈论中的深刻含义，例如纳什均衡的存在性论证的数学基础。我们着重于拓扑的可压缩性（或不可压缩性）如何决定不动点的必然性。 --- 第三部分：图论的结构分析与网络流理论 本部分回归到图论，但其深度远超基础连通性和欧拉路径的介绍。我们将图结构视为一种特殊的离散空间，并运用代数和组合优化工具进行分析。 我们重点研究代数图论（Algebraic Graph Theory）的初步概念，特别是图的邻接矩阵（Adjacency Matrix）和拉普拉斯矩阵（Laplacian Matrix）的谱性质。我们将分析特征值和特征向量如何揭示图的连通性、划分结构以及是否存在“瓶颈”（cuts）。例如，如何利用拉普拉斯矩阵的零特征值数量来确定连通分量的数量。 随后，本书深入到网络流理论（Network Flow Theory）的数学核心。我们将严格推导最大流最小割定理（Max-Flow Min-Cut Theorem），使用Ford-Fulkerson算法的数学框架（而非具体的编程实现细节）来证明其有效性。重点在于理解流（flow）和割（cut）之间的对偶关系，这种关系在资源分配和网络设计中具有基础性意义。 最后，本部分会触及匹配理论（Matching Theory），特别是霍尔婚姻定理（Hall's Marriage Theorem）的组合证明，展示其与二分图结构之间的内在联系。 --- 第四部分：计算复杂性与可判定性 本部分将离散数学的成果提升到理论计算机科学的层面，探讨计算的极限。本书的这一部分是纯粹的数学建模，专注于定义和证明，而非算法实现。 首先，我们将详细构建图灵机（Turing Machines）的形式化模型。这一建模过程侧重于其作为通用计算设备的数学抽象，分析其状态转换规则和读写头操作的精确性。 接着，我们将引入可判定性（Decidability）的概念。我们将对停机问题（Halting Problem）的不可解性进行哥德尔式的对角线论证，严格证明该问题的不可判定性。 核心内容聚焦于复杂性类（Complexity Classes）的数学定义。我们将精确定义P类（Polynomial Time）和NP类（Nondeterministic Polynomial Time）。重点在于理解NP完备性（NP-Completeness）的数学标准——多项式时间可归约性（Polynomial-Time Reducibility）。我们将利用SAT问题作为第一个NP完全问题的范例，并展示如何将一个已知的NP完全问题归约到另一个问题，从而证明后者也是NP完全的。这一部分强调的是对“计算难度”的数学刻画，而不是对特定算法效率的工程评估。 --- 本书的最终目标是为读者提供一套强大的、相互关联的数学工具箱，这些工具源于集合论的严格性，通过代数和拓扑的抽象框架进行组织，并最终应用于对信息、网络和计算极限的精确描述。它要求读者具备扎实的逻辑思维能力，并准备好应对高度抽象的数学论证。

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