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出版者:Oxford University Press, U.S.A.

作者:Fauvel, John (EDT)/ Flood, Raymond (EDT)/ Wilson, Robin J. (EDT)

出品人:

页数:200

译者:

出版时间:2006-9-14

价格:GBP 28.49

装帧:Paperback

isbn号码:9780199298938

丛书系列:

图书标签:

• 音乐
• 数学
• 科普
• 数学科普
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• 数学应用
• 跨学科
• 音乐与数学
• 数学与音乐
• 科学
• 艺术
• 认知科学

弦之律，数之形：探索宇宙深层和谐的奥秘 一、引言：在感知与理性之间架设的桥梁 本书旨在深入探讨音乐与数学这两个看似分属不同领域，实则共享着深刻结构性联系的学科。我们不满足于将它们视为简单的“艺术”与“科学”，而是致力于揭示隐藏在音高、节奏、和声背后的精确数学原理，以及这些原理如何在人类情感和审美体验中得到具象化的表达。全书结构严谨，从最基础的物理声学原理出发，逐步深入到复杂的结构分析、形态构建，乃至跨文化音乐体系中的量化表达。 二、声学与比例的基石：毕达哥拉斯的遗产 本书的第一部分聚焦于音乐的物理基础——声音的产生、传播与感知，并着重审视早期西方音乐理论的奠基石。 2.1 声音的物理学：波、频率与泛音列 我们将详细解析声波的数学特性，包括频率（决定音高）、振幅（决定响度）与波形（决定音色）。重点讨论傅里叶分析在音乐频谱解析中的核心地位，展示任何复杂的音色如何被分解为一系列正弦波（泛音）的叠加。讨论这些物理参数如何直接影响人耳对音高的辨识和区分。 2.2 毕达哥拉斯的发现：和谐的整数比 深入探讨毕达哥拉斯学派如何通过对琴弦长度的精确测量，发现了纯粹音程（如八度 2:1，五度 3:2，四度 4:3）背后的整数比例关系。这部分将详述单比特率（Just Intonation）体系的数学逻辑，并分析其在纯净和声中所产生的和谐感，探讨这种和谐感是否源于人类对简单比例的先天偏好。 2.3 中世纪的音阶构建与对数思维的萌芽 分析古典音阶（如大调与小调）是如何在保持基本和谐的同时，试图解决音律中周期性不一致的问题。讨论“纯律”在不同调性之间转换时遭遇的“狼五度”困境，为引入更精密的数学解决方案埋下伏笔。 三、从五度圈到十二平均律：中介的数学革命 本书的第二部分将转入西方音乐史上最重要的数学革新——十二平均律的诞生及其对音乐创作的深远影响。 3.1 比例的张力：中庸音律的尝试 介绍中世纪晚期音乐家为了解决纯律不便进行转调的问题所做的各种“中庸音律”（Mean Temperaments）的尝试。通过对不同音律下五度、四度音程的微小偏移进行量化分析，展示这些折衷方案如何在“可接受的微小失真”与“转调的实用性”之间寻求平衡。 3.2 十二平均律的诞生：指数与对数的力量 这是本书的核心数学论证之一。详细解析十二平均律（Equal Temperament）的构造原理——将一个八度（频率比 2:1）精确地平均分割成十二个频率比相等的半音。计算出每个半音的精确频率比 $sqrt[12]{2}$。分析对数运算在理解音程关系中的关键作用，解释为何这种看似“不纯”的音律反而能为巴洛克及古典时期的和声学带来前所未有的自由度。 3.3 调性系统的几何学：五度圈的拓扑结构 将十二平均律的十二个音符置于一个环形结构中，构建“五度圈”（Circle of Fifths）。分析五度圈的几何学意义——它如何清晰地展示调性之间的关系强度、转调的路径以及和声功能群落的分布。探讨这种拓扑结构如何指导了巴赫等作曲家的对位与和声进行。 四、节奏与形式的结构化分析 音乐的维度不仅限于音高，节奏和结构同样蕴含着严密的数学逻辑。本部分将探讨时间维度上的秩序构建。 4.1 分数与度量：节奏的时间分割 分析拍号（Time Signature）的本质——它是一个分数，定义了时间的基本分割单位和周期性。探讨不同节奏型（如复节奏、切分音）如何通过有理数和无理数的交织，创造出动态的张力与释放。 4.2 序列与对称：对位法与赋格的结构美 深入探讨复调音乐，特别是赋格（Fugue）中体现的数学变换。分析模仿（Imitation）、逆行（Retrograde）、倒影（Inversion）等对位技巧的数学本质——它们是群论中对称操作在音高序列上的具体应用。通过对巴赫作品的实例分析，展示这些结构化操作如何确保音乐在复杂性中的统一性和逻辑性。 4.3 黄金比例与斐波那契数列在曲式结构中的应用 考察音乐的宏观结构，分析作曲家（如德彪西、巴托克）如何自觉或不自觉地运用黄金分割比例（$Phi approx 1.618$）来划分乐章的高潮点、主题再现点或乐段的起止位置。讨论斐波那契数列在某些民族音乐或现代主义音乐形式构建中的潜在关联。 五、现代音乐的量化探索与超越 进入二十世纪，音乐家开始直接将更前沿的数学概念引入创作，挑战传统的听觉习惯。 5.1 十二音体系与集合论 详述勋伯格的十二音列技法（Twelve-Tone Technique）如何将所有十二个音视为一个不可重复的集合（Set），并对其施加严格的数学操作规则（平移、逆行、倒影）。分析这种方法在消除调性中心、构建非等级化音高结构方面的数学基础。 5.2 随机性与概率模型 探讨基于概率论的音乐生成方法，例如马尔可夫链（Markov Chains）在模拟特定作曲家风格或生成新旋律片段中的应用。分析这些随机过程如何在“可控的偶然性”下产生听觉上可接受的结果。 5.3 弗拉吉奥结构与分形几何 简要介绍分析复杂音乐结构时借鉴的数学工具，例如如何使用集合论的术语来描述音高集合（Pitch Classes）的特征集合（Interval Vectors）。展望未来，探讨分形几何的概念是否能为描述音乐中自相似结构（如主题的不断细化或节奏的自我重复）提供新的视角。 六、结论：超越计算的审美体验 本书总结道，数学为我们提供了理解音乐“如何构造”的精确蓝图，揭示了从最微小的泛音到最宏大的曲式结构中蕴含的秩序。然而，音乐的最终价值并非仅仅在于其数学的精确性，而在于这种精确的结构如何被人类的感官和情感所编码、解码并最终体验。音乐与数学的交汇点，正是理性之美与感性之美的完美融合之处。

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