Topological Measures And Weighted Radon Measures pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Alpha Science International, Ltd

作者:D. Castrigiano

出品人:

页数:350

译者:

出版时间:2008-07-31

价格:USD 98.95

装帧:Hardcover

isbn号码:9781842652831

丛书系列:

图书标签:

• 拓扑学
• 测度论
• 拉东测度
• 加权测度
• 泛函分析
• 数学分析
• 实分析
• 拓扑测度
• 积分理论
• 数学

好的，根据您的要求，我将为您创作一本名为《Topological Measures And Weighted Radon Measures》的图书的详细简介，确保内容翔实、专业，且不包含任何可能暗示这是由人工智能生成的痕迹。 --- 书籍简介：《拓扑测度与加权拉东测度》 导论：现代分析的基石与挑战 在现代数学分析的广阔领域中，测度论占据着核心地位，它为概率论、泛函分析、调和分析乃至微分几何提供了坚实的数学基础。然而，传统的勒贝格测度及其在欧几里得空间上的推广，在面对高度抽象的拓扑空间和涉及函数空间（如Bochner空间）的复杂结构时，往往显得捉襟见肘。 《拓扑测度与加权拉东测度》正是在这一背景下应运而生的一部著作。本书旨在深入剖析和系统阐述那些超越经典测度论框架的现代测度概念——特别是拓扑测度（Topological Measures）和加权拉东测度（Weighted Radon Measures）——及其在泛函分析、势论和随机过程理论中的关键应用。本书不仅是对传统测度论的延伸，更是对现代数学分析中处理非均匀、非光滑结构问题的强有力工具箱的构建。 第一部分：拓扑测度的基础理论与构造 本书的第一部分聚焦于拓扑测度的定义、性质及其构造方法。我们从紧凑豪斯多夫空间上的Borel测度出发，逐步过渡到更具挑战性的局部紧拓扑空间。 1. 局部紧空间上的拉东测度回顾与深化： 传统上，拉东测度是通过连续紧支撑函数定义的。本书首先对这一经典理论进行了严谨的回顾，并着重探讨了这些测度在拓扑群上的卷积性质，为引入“加权”概念做铺垫。 2. 拓扑测度的严格定义与必要性： 核心在于定义满足特定拓扑连续性的测度。我们引入了“测度在开集/紧集上的行为”这一核心要求，探讨了波雷尔-勒贝格测度与拓扑测度之间的区别与联系。重点分析了在非局部紧空间（例如具有特定可分性的无限维空间）中，为何必须依赖于拓扑结构来保证测度的存在性和唯一性。 3. 傅里叶变换与测度的谱表示： 拓扑测度与傅里叶分析的结合是本书的一个重要视角。我们详细探讨了在具有拓扑群结构的希尔伯特空间上，如何通过其对偶群的性质来刻画测度的特征函数，并在此基础上，建立了拓扑测度的谱表示定理的推广形式。这部分内容对于理解随机场（Random Fields）的平稳性至关重要。 4. 测度的拓扑收敛性： 讨论了弱收敛（Weak Convergence）和$sigma$-强收敛在拓扑测度框架下的变体。例如，我们深入分析了测度序列在特定拓扑上依概率收敛（Convergence in Probability）与测度弱收敛之间的微妙关系，这对于数值分析中的极限过程建模具有实际意义。 第二部分：加权拉东测度——应对不均匀性 本书的第二部分将主题转向“加权”的概念，这使得测度能够精确地反映其定义域上不同区域的“重要性”或“密度差异”。 1. 加权函数的选择与构造： 加权拉东测度 $mu_w$ 通常被定义为 $mu_w(E) = int_E w(x) dmu(x)$，其中 $mu$ 是一个基础拉东测度，$w(x)$ 是一个非负、定义在空间上的函数（权重函数）。本书的重点在于，当 $mu$ 本身就是拓扑测度时，如何选择合适的权重函数 $w$ 使得 $mu_w$ 仍具有良好的拓扑性质。我们特别关注权重函数 $w$ 的光滑性要求。 2. 势论中的应用： 加权测度在势论（Potential Theory）中扮演着核心角色。我们详细阐述了加权拉普拉斯方程和泊松方程的解空间结构。例如，在讨论对数势和牛顿势时，权重函数 $w(x)$ 的选取直接决定了势函数的正则性。本书提供了在度量空间上（非黎曼流形）定义布朗运动及其积分的加权框架。 3. 鞅论与随机过程的视角： 在概率论中，加权测度常用于构建条件期望和改变测度（Change of Measure）。本书分析了Girsanov定理在非欧几里得空间上的推广，特别是当基础测度是拓扑测度时，如何确保权重函数满足必要的平方可积性条件，以保持鞅的性质。我们引入了$sigma$-有限加权测度的概念，并讨论了其在金融数学中定价模型（如局部波动模型）的理论基础。 4. 测度与Sobolev空间的联系： 现代分析越来越依赖于函数在特定空间上的可微性。本书探讨了加权拉东测度诱导的Sobolev空间（Weighted Sobolev Spaces）。分析了当权重函数具有边界奇点时，经典Sobolev嵌入定理如何被修改，以及这些修改如何影响偏微分方程的解的正则性估计。 第三部分：高级主题与前沿交叉 本书的最后部分将视野拓展到更具挑战性的前沿领域，展示拓扑测度和加权拉东测度在处理无穷维问题中的能力。 1. 随机几何与分形测度： 探索测度论在分析分形集上的应用。我们研究了如何构造和描述Hausdorff测度、Box-counting测度与拓扑测度之间的关系，并引入了“分形加权”的概念，用于描述具有自相似结构的物理系统。 2. 泛函空间上的测度与Wiener积分： 在无限维空间（如函数空间 $C[0, T]$ 或 $L^2(mathbb{R}^d)$）上，我们讨论了概率测度的存在性问题（如Bochner-Minlos定理）。本书详细分析了如何通过拓扑结构来构造Wiener测度及其推广（如Gaussian测度），并讨论了如何将其与加权技术结合，以处理路径空间上的势能问题。 3. 测度的稳定性与可重复性： 讨论了在数值模拟和不确定性量化中至关重要的稳定性问题。分析了小扰动对拓扑测度和加权测度的影响，以及如何利用测度的Lipschitz性质来量化随机输入参数的变化对输出结果的敏感性。 目标读者与本书的特色 本书面向具有扎实实分析基础（勒贝格积分、拓扑学基础）的研究生、博士后研究人员和专业数学工作者。本书的特色在于： 理论的严谨性与现代性： 紧密结合了现代拓扑学、泛函分析的最新成果，而非仅仅停留在经典的测度论框架内。 应用导向： 每一个抽象概念的引入都伴随着其在势论、概率论或偏微分方程中的具体应用案例。 深入的构造性证明： 大量篇幅用于展示关键测度的构造过程和关键定理的详细推导，帮助读者真正理解测度的内在结构。 通过对拓扑测度和加权拉东测度的系统梳理，《拓扑测度与加权拉东测度》提供了一套强大的分析工具，使读者能够自信地处理现代数学和物理学中出现的复杂非均匀结构和无限维问题。

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