Two-Point Boundary Value Problems pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:Elsevier Science Ltd

作者:Coster, Colette De/ Habets, P.

出品人:

页数:502

译者:

出版时间:2006-4

价格:$ 242.95

装帧:HRD

isbn号码:9780444522009

丛书系列:

图书标签:

微分方程
常微分方程
边界值问题
数值分析
数学分析
偏微分方程
科学计算
工程数学
应用数学
数学模型

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具体描述

This book introduces the method of lower and upper solutions for ordinary differential equations. This method is known to be both easy and powerful to solve second order boundary value problems. Besides an extensive introduction to the method, the first half of the book describes some recent and more involved results on this subject. These concern the combined use of the method with degree theory, with variational methods and positive operators. The second half of the book concerns applications. This part exemplifies the method and provides the reader with a fairly large introduction to the problematic of boundary value problems. Although the book concerns mainly ordinary differential equations, some attention is given to other settings such as partial differential equations or functional differential equations. A detailed history of the problem is described in the introduction. It presents the fundamental features of the method. It covers construction of lower and upper solutions in problems. There are working applications and illustrated theorems by examples. It includes a description of the history of the method and Bibliographical notes.

《非线性偏微分方程的变分法及其应用》图书简介本书深入探讨了非线性偏微分方程（PDEs）的变分理论基础及其在数学物理、工程科学等多个领域的广泛应用。本书旨在为对现代分析方法和应用数学感兴趣的研究人员、高年级本科生和研究生提供一个全面、深入且结构严谨的学习资源。第一部分：变分法基础与泛函分析本书伊始，我们首先回顾并系统化了泛函分析的关键概念，为后续变分理论的建立奠定坚实的数学基础。第一章：函数空间与算子理论回顾本章详细阐述了 Sobolev 空间 $W^{k,p}(Omega)$ 的构造、性质及其重要性，特别是嵌入定理（如 Sobolev 嵌入定理）和迹理论在处理微分方程边界条件时的核心作用。我们强调了函数空间的选择如何直接影响解的存在性和正则性。此外，对有界线性算子和紧算子的基本性质进行了复习，为引入变分形式（弱解概念）做好了准备。第二章：变分原理与能量泛函变分法的核心在于寻找使特定泛函取得极值的函数。本章引入了泛函（Functionals）的概念，并重点介绍了 Gâteaux 导数和 Fréchet 导数。通过对能量泛函进行变分，我们推导出了一阶变分条件——欧拉-拉格朗日方程。书中详细分析了二次泛函的性质，包括其正定性和相关的变分不等式。我们还探讨了极小化问题的直接法（Direct Method），特别是利用黎曼-斯捷克洛夫（Riesz-Fischer）定理来证明能量泛函在特定完备空间中的极小值点存在性。第二章的重点在于，如何将一个微分方程问题转化为一个等价的泛函最小化问题，这是解决非线性 PDE 的强大工具。第二部分：非线性椭圆型方程的变分理论非线性椭圆型方程在稳态问题和势能理论中占据核心地位。本部分聚焦于这类方程的弱解理论、存在性与唯一性证明。第三章：变分形式与弱解本章系统地介绍了非线性椭圆型方程（如具有光滑或非光滑非线性项的泊松方程）的变分表述。我们详细定义了弱解的概念，并强调了选取合适的测试函数空间的重要性。通过能量守恒原理和柯西-施瓦茨不等式，我们推导出弱解的先验估计。书中使用了关键的不等式，如 Poincaré 不等式和 Young 不等式，来控制解的范数。第四章：解的存在性——庞加莱与拉布斯定理存在性证明是非线性分析的难点所在。本章的核心是应用不动点定理来证明弱解的存在性。我们详细介绍了 Schauder 估计的基本思想（尽管本书不深入 L^p 框架下的正则性，但会介绍其必要性），并重点阐述了 Brouwer 不动点定理在证明解存在性中的应用，特别是在处理某些强制（coercive）的变分问题时。我们还引入了更强大的工具——山路定理（Mountain Pass Theorem），用于证明鞍点解或非零能量解的存在性。第五章：单调算子理论与变分不等式对于具有更复杂非线性项的方程，例如涉及梯度或导数的非线性项，单调算子的理论提供了更有效的框架。本章介绍了连续、扩大（Accretive）算子的概念，以及 Minty-Browder 定理在证明强制单调算子存在唯一解时的威力。随后，我们将理论自然延伸到变分不等式（Variational Inequalities），这些不等式在约束优化和自由边界问题中扮演着关键角色。第三部分：进阶主题与应用模型本部分将理论应用于更复杂、更具挑战性的模型，涉及非光滑性和演化问题。第六章：非光滑变分问题许多实际问题，例如接触力学或图像处理中的全变差（Total Variation, TV）最小化，涉及的泛函不是处处可微的。本章引入了次微分（Subdifferential）的概念，这是光滑函数导数的推广。我们探讨了非光滑函数的凸分析基础，并展示了次微分算子如何将非光滑问题转化为一个广义的变分不等式或包含次微分的椭圆型方程。第七章：演化方程的变分法——半群理论初步虽然本书主要关注定常问题，但为理解时间演化系统（如非线性热方程或波方程）的变分处理，本章提供了必要的过渡。我们概述了 L^2 空间上的无界线性算子的生成元理论，以及 Hille-Yosida 定理的基本思想。对于某些非线性演化问题，我们展示了如何通过利用其能量泛函的下降趋势，并结合 Trotter-Kato 定理的变分思想，来建立时间离散化方案的稳定性。第八章：应用案例分析本章精选了两个具有代表性的应用案例，以巩固前述理论： 1. 非线性泊松方程：探讨了在带电荷密度或非线性介质中的泊松方程，分析了其解的全局存在性，特别是当非线性项是关于解本身的单调函数时，如何利用第5章的理论快速得到结果。 2. 最小曲面问题（局部化）：虽然完整的最小曲面理论需要更深入的几何分析，但我们从变分角度出发，推导了其欧拉-拉格朗日方程——平均曲率方程。我们分析了如何使用极小化原理来证明局部极小曲面的存在性。总结本书强调了从微分形式到弱形式，再到泛函极值化的完整思维链条。通过对泛函分析、单调算子和不动点理论的系统集成，读者将掌握处理一类重要的非线性偏微分方程的现代分析工具箱。本书的严谨性和广度，使其成为深入研究非线性PDEs方法的权威参考书。