具体描述
好的，这是一份图书简介，内容不涉及《Basic College Mathematics With Early Integers》这本书本身。 --- 《当代高等数学基础与应用：从理论到实践的全面指南》 作者： [此处可填写虚构的专家/教授名称] 出版社： [此处可填写虚构的出版社名称] 版次： 第一版 出版日期： 2024年10月 页数： 约850页 定价： [此处可填写虚构价格] 内容概述： 本书旨在为大学一年级及以上的学生提供一个全面、深入且注重实践的高等数学基础课程。它不仅涵盖了传统微积分课程的核心内容，更通过现代视角，将代数、几何、概率论与统计学的前沿概念有机地融合在一起，为学生未来在工程、科学、经济学及计算机科学等领域的学习打下坚实的定量分析基础。我们相信，数学的价值在于其应用能力，因此本书在理论推导的同时，将大量的篇幅投入到现实世界问题的建模与求解中。 全书共分为五个主要部分，共二十章，结构逻辑清晰，层层递进。 --- 第一部分：解析基础与函数系统 (Foundations of Analytical Geometry and Function Systems) 本部分着重于建立扎实的代数和几何基础，这是理解更高阶数学概念的基石。 第一章：复习与深化：代数表达式的重构 (Review and Deepening: Reconstruction of Algebraic Expressions) 本章超越了基础代数的范畴，深入探讨了多项式理论在高级代数结构中的作用。内容包括：高级因式分解技术，涉及抽象代数中的环论初步概念；有理函数与无理函数的最简形式表示及其性质分析；指数与对数函数的扩展应用，特别是与自然增长模型（如放射性衰变、人口增长）的结合。重点在于理解函数运算的内在结构，而非简单的计算步骤。 第二章：平面几何的解析表达与变换 (Analytical Representation and Transformation of Plane Geometry) 本章将解析几何提升至新的高度。我们不仅复习了圆锥曲线（抛物线、椭圆、双曲线）的标准方程，更引入了仿射变换（Affine Transformations）和刚体运动（Rigid Motions）在二维空间中的矩阵表示。通过引入向量空间的概念，学生将学习如何用线性代数的语言来描述几何对象的平移、旋转与缩放，为后续的三维空间分析做准备。 第三章：超越初等函数：特殊函数导论 (Beyond Elementary Functions: Introduction to Special Functions) 本章介绍了在物理学和工程领域中广泛应用的特殊函数，如伽马函数（Gamma Function）的基本性质及其在概率密度函数中的联系；贝塞尔函数（Bessel Functions）的初步介绍及其在波动问题中的应用背景。重点在于认识到这些函数是描述复杂自然现象的必要工具。 --- 第二部分：极限理论与连续性（The Theory of Limits and Continuity） 本部分是微积分学习的核心，侧重于从直觉理解向严格证明的过渡。 第四章：极限的严谨定义与计算 (Rigorous Definition and Computation of Limits) 引入了 $epsilon-delta$ 语言，要求学生不仅能计算极限，更要能用精确的数学语言证明极限的存在性与唯一性。讨论了单侧极限、无穷极限以及函数在无穷远处的行为。 第五章：连续性与中值定理的几何意义 (Continuity and the Geometric Significance of Mean Value Theorems) 深度解析了函数连续性的拓扑含义。随后，详细探讨了介值定理（Intermediate Value Theorem）和一致连续性（Uniform Continuity），并为微分学中的均值定理（Rolle's Theorem, Mean Value Theorem）构建了坚实的逻辑基础。 --- 第三部分：微分学：变化率的精确度量 (Differential Calculus: Precise Measurement of the Rate of Change) 本部分聚焦于变化率的数学工具——导数。 第六章：导数的定义、计算与应用 (Definition, Computation, and Applications of the Derivative) 除了链式法则、乘积法则等基本运算规则的精细推导外，本章大量篇幅用于隐函数求导（Implicit Differentiation）和参数方程求导。重点案例研究包括：速率与加速度的分析，以及利用导数分析振动系统的瞬时变化。 第七章：高阶导数与应用（Higher-Order Derivatives and Applications） 分析了二阶导数在曲率（Curvature）和最优化问题中的关键作用。引入牛顿法（Newton's Method）的迭代过程，并结合算法分析其收敛速度。 第八章：多变量函数的偏导数与梯度（Partial Derivatives and Gradients in Multivariable Functions） 将一元函数微分的概念自然推广到二维和三维空间。详细讲解偏导数的物理意义，以及梯度向量场在多山地形中的等高线表示，为后续的场论做好铺垫。 --- 第四部分：积分学：积累与累积效应（Integral Calculus: Accumulation and Cumulative Effects） 本部分讨论如何对量进行累加，以求得总量或净变化。 第九章：黎曼和与定积分的严格构造 (Riemann Sums and the Rigorous Construction of the Definite Integral) 本章强调定积分的“构造性”而非单纯的“求解”。学生将学习如何用黎曼和来逼近面积，理解上和与下和的收敛性，最终定义定积分。 第十章：微积分基本定理及其逆运算 (The Fundamental Theorem of Calculus and Its Inverse Operation) 对微积分基本定理（FTC）的两个部分进行深入证明与阐释，强调了微分与积分之间的根本对偶关系。 第十一章：积分技巧的现代策略 (Modern Strategies in Integration Techniques) 系统梳理和拓展了分部积分法、三角代换、部分分式分解等经典积分技巧。更重要的是，本章引入了数值积分方法，如梯形法则和辛普森法则，并分析了它们在计算机模拟中的误差界限。 第十二章：反常积分与收敛性判定 (Improper Integrals and Convergence Criteria) 探讨积分区间为无穷大或被积函数存在不连续点的情况。使用比较判别法（Comparison Tests）来严格判断反常积分的收敛性。 --- 第五部分：应用数学与定量建模 (Applied Mathematics and Quantitative Modeling) 本部分是全书的综合应用部分，展示数学工具在解决真实世界复杂问题中的威力。 第十三章：微分方程入门：一阶方程的求解 (Introduction to Differential Equations: Solving First-Order Equations) 介绍常微分方程（ODE）的基本概念，重点研究可分离变量法、积分因子法在诸如电路分析、简谐振动建模中的应用。 第十四章：概率论基础：离散与连续分布 (Foundations of Probability Theory: Discrete and Continuous Distributions) 从集合论基础出发，定义概率空间。详细分析二项分布、泊松分布、正态分布（高斯分布）的性质。特别强调正态分布在统计推断中的核心地位。 第十五章：线性回归与最小二乘法 (Linear Regression and the Method of Least Squares) 本章是数据科学的初步接触。通过最小二乘法的推导，学生将学习如何利用线性代数和微积分的知识来拟合观测数据，并评估模型的拟合优度（$R^2$ 值）。 第十六章：向量分析与空间几何（Vector Analysis and Spatial Geometry） 引入三维笛卡尔坐标系，详细阐述向量的内积和外积，以及它们在计算平面方程、线与线之间距离、投影等问题中的应用。 第十七章：旋度、散度与积分定理（Curl, Divergence, and Integral Theorems） 深入探究向量场。定义和计算散度（Divergence）和旋度（Curl），并给出它们在流体力学和电磁学中的物理意义。引入格林公式（Green's Theorem）作为对更高维度定理的预备。 第十八章：拉普拉斯变换初步（Introduction to the Laplace Transform） 介绍拉普拉斯变换作为求解线性常系数微分方程的强大代数工具。重点在于其在求解带有初始条件的系统响应问题中的效率。 第十九章：级数表示与傅里叶分析导论 (Series Representations and Introduction to Fourier Analysis) 讨论幂级数（Power Series）的收敛半径与收敛域。随后，介绍傅里叶级数的基本形式，展示如何将周期性信号分解为正弦和余弦的无穷和，这是信号处理和偏微分方程的基础。 第二十章：数学建模的案例研究 (Case Studies in Mathematical Modeling) 本章将前述所有工具整合起来，分析复杂的实际问题，例如：传染病模型（SIR模型）的建立与分析、资源分配的优化问题，以及金融市场中的随机游走模拟。强调从现象到数学模型，再到求解和解释结果的完整循环。 --- 本书特色： 1. 深度与广度的平衡： 本书不仅提供了严格的理论证明，更保证了对这些理论在工程和科学中实际应用的充分覆盖。 2. 计算工具的集成： 每章都包含使用现代计算软件（如MATLAB/Python或Maple/Mathematica）进行复杂计算和可视化验证的示例。 3. 强调逻辑思维： 每一部分的过渡都经过精心设计，旨在培养学生严谨的逻辑推理能力和抽象思维能力，而非仅仅记住公式。 4. 丰富的习题集： 包含大量不同难度级别的习题，其中约20%的题目为应用导向型开放式问题，鼓励学生独立思考和构建模型。 目标读者： 适合所有需要掌握大学水平数学基础的工程、计算机科学、物理、经济学及定量社会科学专业的学生。 ---
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