Foundations of Geometry pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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☆☆☆☆☆

出版者:Prentice Hall

作者:Venema, Gerard

出品人:

页数:448

译者:

出版时间:2004-12

价格:$ 97.94

装帧:Pap

isbn号码:9780131437005

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
• 基础
• 欧几里得几何
• 公理化几何
• 数学史
• 几何证明
• 平面几何
• 立体几何
• 数学教育
• 高等数学

空间奥秘的深度探索：现代几何学原理与应用 本书旨在为读者构建一个坚实而全面的现代几何学知识体系，重点关注其在数学、物理、工程乃至艺术等多个交叉领域的应用基础。我们摒弃了传统教科书中可能过于侧重于欧几里得公理体系的单一视角，转而深入探讨了更为广阔和深刻的几何学分支，包括微分几何、拓扑学、代数几何的现代视角及其与相对论、计算机图形学等前沿领域的紧密联系。 第一部分：基础结构的重塑与拓扑学的视角 本部分从根本上挑战了我们对“形状”和“空间”的直觉认知。我们首先回顾了非欧几何（如双曲几何和椭圆几何）的构造原理，但这并非简单的重复，而是以更严谨的群论和张量语言重新诠释这些几何结构的内在一致性。 随后，我们将引入拓扑学——“橡皮泥几何学”的核心思想。我们详细阐述了同胚、连续映射、连通性、紧致性等关键拓扑不变量。重点章节将剖析基本群（Fundamental Group）的计算方法，例如使用覆叠空间理论来确定圆环和球面的基本群，这将为理解空间中的“洞”提供强有力的代数工具。我们不仅会介绍欧拉示性数的计算，还会展示其在描述复杂曲面（如亏格为$g$的曲面）分类中的核心地位。此外，同调理论（Homology Theory）的入门介绍，将引导读者理解如何通过更强大的代数工具来区分拓扑空间，即使它们看起来高度复杂。 第二部分：测地线、曲率与微分几何的引擎 本部分是本书的几何分析核心，着重于研究在度量（距离和角度）结构下空间的行为。我们从流形（Manifolds）的概念出发，将其定义为在局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间。通过坐标图集（Atlas）和图卡转换函数，我们实现了在弯曲空间中进行微积分的能力。 核心内容聚焦于黎曼几何。读者将学习如何定义切空间（Tangent Space），这是在流形上进行向量分析的基础。我们将详细推导联络（Connection）的概念，特别是列维-奇维塔联络，它允许我们在不同点之间“平行移动”向量。这是理解测地线（Geodesics）——弯曲空间中的“直线”——的关键。 曲率是本部分分析的精髓。我们深入探讨了黎曼曲率张量（Riemann Curvature Tensor）的完整定义及其代数性质。通过里奇曲率（Ricci Curvature）和斯卡拉曲率（Scalar Curvature），我们将连接局部几何性质与整体空间结构。本书将提供丰富的例子，例如分析球面和双曲面上的曲率，并探讨高斯绝妙定理（Theorema Egregium），阐明表面内在曲率与外在嵌入空间无关的深刻意义。 第三部分：代数几何的视角与空间的构造 本部分将几何学的研究对象提升到由多项式方程定义的集合——代数簇（Algebraic Varieties）。我们采用现代代数几何的语言，将几何问题转化为环和域上的代数问题。 我们首先介绍射影空间（Projective Space）的概念，它在代数几何中比仿射空间更为自然。随后，我们将探讨希尔伯特零点定理（Hilbert’s Nullstellensatz），这是连接几何直观与代数结构的关键桥梁。 重点章节将分析有理曲线和奇点。通过局部环（Local Rings）的性质分析，我们将学习如何识别和分类代数簇上的奇异点，这对于理解几何对象的退化和重构至关重要。我们还将简要介绍贝祖定理（Bézout's Theorem）的现代形式，展示在射影平面上两个曲线的交点个数（计重数）的代数决定性。 第四部分：几何学在现代科学中的具体应用 最后一部分将展示上述抽象理论如何被应用于解决现实世界的问题，特别是在物理学和计算科学中。 在广义相对论的背景下，我们将展示爱因斯坦场方程的几何本质：物质（能量动量张量）决定了时空（黎曼度量）的曲率。我们将解释史瓦西解的几何意义，以及为什么时间在强引力场中表现出不同的流逝速率。 在计算机图形学和数据科学中，本书将探讨黎曼几何优化。我们介绍如何在流形上进行统计分析，例如计算三维旋转群（SO(3)）上的平均方向，或在正定矩阵流形上进行医学图像配准。这要求我们使用流形上的梯度下降方法，而不是传统的欧几里得空间中的方法，以确保计算结果保持在有效的几何结构内。 总结而言，本书旨在提供一个从拓扑的定性、黎曼几何的定量分析到代数几何的结构描述的完整路径，使读者能够掌握现代几何学工具箱，并将其应用于构建更精确、更深刻的模型。

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