Forms of Fermat Equations and Their Zeta Functions pdf epub mobi txt 电子书下载 2026

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出版者:World Scientific Pub Co Inc

作者:Brunjes, Lars

出品人:

页数:248

译者:

出版时间:

价格:$ 67.80

装帧:HRD

isbn号码:9789812560391

丛书系列:

图书标签:

数论
费马方程
zeta函数
代数几何
算术几何
模形式
L函数
椭圆曲线
伽罗瓦表示
解析数论

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具体描述

In this volume, an abstract theory of 'forms' is developed, thus providing a conceptually satisfying framework for the classification of forms of Fermat equations. The classical results on diagonal forms are extended to the broader class of all forms of Fermat varieties. The main topic is the study of forms of the Fermat equation over an arbitrary field K. Using Galois descent, all such forms are classified: particularly, a complete and explicit classification of all cubic binary equations is given. If K is a finite field containing the d-th roots of unity, the Galois representation on I-adic cohomology (and so in particular the zeta function) of the hypersurface associated with an arbitrary form of the Fermat equation is computed.

《解析几何的深层结构与拓扑变换》本书深入探索了二十世纪以来解析几何领域的前沿进展，着重剖析了代数簇的局部性质与整体结构的深刻联系，并将其置于现代拓扑学的宏大框架下进行审视。全书的叙事围绕着几个核心主题展开：阿贝尔簇的模空间理论、代数曲面的黎曼-罗赫定理的推广，以及复流形上的霍奇理论。第一部分：代数簇的局部化与奇点理论开篇首先详述了代数簇的局部结构，特别是对不可约齐次坐标系下的奇点进行分类和解析。我们详细考察了柯西积分公式在光滑流形上的推广，并将其应用于代数曲面的切空间分析。书中花费大量篇幅讨论了莫雷-萨尔定理（Moreau-Sarl Theorem）在解析几何中的应用，该定理为理解奇点附近的局部环的结构提供了强大的工具。我们将局部完备化过程与形式幂级数环的完备化联系起来，展示了如何通过Hensel提升来构造局部解。重点聚焦于阿贝尔簇（Abelian Varieties）。阿贝尔簇作为零维的复代数簇，其结构完全由其复线性结构和正定线性系统的存在性所决定。我们引入了由Weil发展的对偶化理论，详细论证了Picard群与阿贝尔簇的同构性。此外，本书深入探讨了模空间$mathcal{A}_g$的结构，特别是其紧致化问题。通过引入Bogomolov-Gieseker稳定性条件，我们精细地刻画了模空间的局部平滑点，并讨论了如何利用Schur-Weil引理来处理模空间上的除数边界。这里的分析强调了典范环与模空间维度之间的关系，为后续研究高维代数簇的参数空间奠定了基础。第二部分：拓扑与代数几何的交汇：霍奇理论本部分的核心在于将代数几何的内在结构与微分拓扑的工具相结合。我们重温了De Rham上同调理论，并将其提升至复流形的范畴。书中详细阐述了Hodge分解的精髓：对于光滑复射影簇$X$，其复上同调群$H^k(X, mathbb{C})$可以分解为拓扑类型的子空间之和：$H^k(X, mathbb{C}) cong igoplus_{p+q=k} H^{p,q}(X)$。这种分解不仅仅是一个代数工具，更是揭示代数几何对象内在对称性的关键。我们详细分析了代数簇上的线丛与Hermite度量的关系。通过Codazzi-Mainardi方程和Ricci曲率的讨论，我们证明了Kähler流形上的Chern形式与Hodge数之间的严格联系。特别地，我们深入研究了Hirzebruch-Riemann-Roch定理在代数曲面上的应用，通过引入Sheaf Cohomology和Serre对偶性，我们提供了一种计算典范环维数的简洁方法。对于一般K3曲面，本书探讨了其Picard群的结构，以及在模空间中如何利用对称群的作用来划分出不同类型的K3簇。第三部分：黎曼-罗赫定理的推广与高维情景随着维度增加，几何的复杂性急剧上升。本书转向研究高维代数簇，特别是Fano流形和Calabi-Yau流形的性质。我们引入了Gromov-Witten不变量的概念，尽管这些不变量本身属于辛几何和弦理论的范畴，但它们在理解高维代数簇的计数几何性质方面扮演了越来越重要的角色。我们重点分析了向量丛的稳定性理论。通过对Mumford-Takemoto稳定性条件的讨论，我们展示了如何利用对偶Morrison-Torelli定理来区分代数簇的模空间。在研究Calabi-Yau簇时，本书侧重于其Ricci平坦性所带来的拓扑约束。我们引用了Yau的证明框架，强调了其对复结构的深刻影响。最后，本书探讨了代数簇的重构问题。如果两个代数簇拥有相同的De Rham上同调环结构和相同的Hodge数，它们是否一定同构？本书通过分析某些高维Fano流形的具体例子，展示了这种“同构”在局部层面成立，但在整体拓扑上可能存在细微差别。我们引入了Picard-Lefschetz变换的概念，用以描述如何通过微扰动来连接不同拓扑类型的空间，从而为理解“形变理论”在代数几何中的作用提供了严谨的数学基础。全书的论述风格力求清晰严谨，大量引用了现代微分几何中的工具，旨在为具备扎实代数几何基础的研究人员提供一个深入理解复几何与拓扑学交界处的综合性参考。