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出版者:Univ of Washington Pr

作者:Fraser, Marcus

出品人:

页数:44

译者:

出版时间:2006-2

价格:$ 33.90

装帧:Pap

isbn号码:9780954901424

丛书系列:

图书标签:

• 几何学
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璀璨星河中的数学之舞：非《几何在黄金中》主题图书简介 书名： 欧几里得的遗嘱：超越平面的拓扑学之旅 作者： 埃德加·冯·霍夫曼 装帧与定价： 精装，附赠限量版手工绘图集，定价 188 元人民币。 导言：重塑空间认知的革命性著作 《欧几里得的遗嘱：超越平面的拓扑学之旅》并非一本关于经典几何学的教科书，它是一部对空间本质进行深刻哲学拷问与严谨数学论证的鸿篇巨制。本书旨在引导读者走出欧几里得三维空间的舒适区，进入一个由连续性、形变和不变量主宰的奇妙领域——拓扑学（Topology）。 我们生活在一个被认为由直线、平面和固定角度定义的宇宙中。然而，本书的核心论点是：在更深层次上，空间的结构由其“可塑性”而非“刚性”所决定。拓扑学，这门“橡皮泥几何学”，揭示了从一个形状可以不撕裂、不粘合地连续变形到另一个形状的内在联系。 本书的写作风格兼具科学的严谨性与文学的叙事性，力图让非专业读者也能领略到高等数学思维的魅力，同时为专业研究者提供深入的理论探讨和前沿的思考方向。 第一部分：连续性的基石——从经典到现代的范式转移 第一章：被遗忘的维度：对欧氏空间的批判性审视 本章从对传统几何学基础的重访开始。作者首先探讨了笛卡尔坐标系在描述复杂形变时的局限性。我们如何定义“接近”？当物体被拉伸或压缩时，哪些属性能够保持不变？这些基础性的问题将读者引入拓扑学的核心——邻域和极限的概念。我们不会纠缠于具体的度量，而是专注于点的集合如何相互关联。 第二章：同胚的魔力：什么让甜甜圈不是咖啡杯？ 这是全书最具启发性的一章。拓扑学中的核心等价关系是“同胚”（Homeomorphism）。作者通过大量的实例——从一个苹果到一个皮球，再到最著名的“甜甜圈与咖啡杯”的拓扑等价性——阐释了拓扑不变量的重要性。我们将详细介绍连通性、紧致性和可定向性这些关键概念，并深入分析为什么某些形变在拓扑意义上是不可逆的，从而揭示了拓扑学的基本判断标准。 第三章：点集拓扑的严密结构 本部分转向技术层面，系统地构建了拓扑空间的正式定义。我们探讨了开集、闭集、基（Base）和闭基（Subbase）的构造。作者特别强调了分离公理（如 T1, T2/Hausdorff 公理）在保证空间足够“良好”以进行更高级分析中的作用。这部分内容为后续研究流形（Manifolds）打下了坚实的理论基础。 第二部分：拓扑形变中的不变量：不朽的标记 第四章：亏格（Genus）的秘密：洞的数量与宇宙的形状 亏格是拓扑学中最直观、也最强大的不变量之一。本章将详细探讨亏格的概念如何应用于曲面分类。从平面（亏格 0）到环面（亏格 1）再到双环面（亏格 2），我们不仅用代数方法计算亏格，还探讨了黎曼曲面的概念，将拓扑学与复分析联系起来。作者展示了亏格如何深刻影响一个表面上函数的行为。 第五章：基本群与洞的代数表达 如果说亏格描述了“表面”的洞，那么基本群（Fundamental Group）则描述了“内部”的洞，即在三维空间中缠绕一个空间的循环路径的结构。本章将首次引入代数拓扑的工具。我们通过计算环路群（Loops）的等价关系，构建出霍普夫不变量（Hopf Invariant）的初步概念，理解如何用群论的语言来识别和区分复杂的空间结构。 第六章：同调论的威力：高维空间的结构解析 随着我们进入更高的维度，简单的基本群开始显得力不从心。本书的这一核心章节介绍了同调论（Homology Theory）。我们不再关注单个的路径，而是关注整个链复形（Chain Complexes）和边界算子（Boundary Operators）。通过钱群（Chains）、环环（Cycles）和边界（Boundaries）的概念，我们学会了如何计算和识别高维空间（如四维超曲面）中的“洞”和“空腔”，这是理解更复杂物理理论（如弦论）的关键工具。 第三部分：拓扑在现实世界中的显现 第七章：从纤维丛到规范场论 拓扑学并非纯粹的抽象游戏。本章将拓扑结构与现代物理学的前沿应用相结合。我们深入探讨了纤维丛（Fiber Bundles）的概念，理解它们如何描述物理场（如电磁场）的结构。作者详细分析了陈示类（Chern Classes），这些拓扑不变量如何与规范场论中的电荷和拓扑荷量直接相关联，揭示了空间几何对物质基本力的内在约束。 第八章：流形、微分与时空几何 本书的收官部分聚焦于微分流形（Differentiable Manifolds）。流形是局部看起来像欧氏空间，但整体结构可能非常复杂的空间。我们探讨了如何在此类空间上进行微积分，并将其应用于广义相对论中的时空弯曲模型。作者论证了拓扑学是理解宇宙大尺度结构（如宇宙的整体拓扑，是否是一个三环面或更复杂的结构）的必要语言。 附录：拓扑学的未解之谜 收录了著名的庞加莱猜想（及其后续的佩雷尔曼证明的拓扑学意义）、四维流形上的奇异性等前沿研究方向，激发读者进行更深层次的探索。 结语：空间不再是背景，而是主角 《欧几里得的遗嘱》旨在颠覆读者对“形状”和“空间”的传统认知。通过对拓扑学的深入探索，读者将领悟到，真正的几何学并非测量长度和角度，而是探究那些在任何连续形变下都保持不变的内在法则。这本书是一封写给那些敢于质疑空间本质、渴望理解宇宙深层结构的数学爱好者的邀请函。它要求的不只是计算能力，更是对“不变性”的深刻洞察力。准备好，将你对空间的理解，从一块坚硬的石头，转变为一块可塑的粘土。

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这本书对我来说，最大的惊喜在于它对“不确定性”和“近似”的接纳。在传统几何叙事中，一切似乎都应该是精确无误的，然而，作者却用相当大的篇幅来探讨计算几何和数值逼近的艺术。它展示了如何在现实的测量误差和计算能力的限制下，依然能够高效且可靠地解决几何问题。这种务实精神，使得整本书的格局一下子变得开阔。从绝对的理想化欧氏空间，过渡到可以操作的离散几何世界，这一过程处理得异常平滑自然。书中提及的算法效率分析和复杂度理论，虽然是偏向计算机科学的范畴，但它们在几何问题解决中的应用被阐述得极具洞察力。我曾经疑惑，如何能将如此抽象的理论与日常的CAD设计或三维建模联系起来，这本书给出了令人信服的范例。它不仅教你“是什么”，更教你“如何用”，这种教学上的双重维度，使得它既适合严肃的学术研究者，也适合那些渴望将理论应用于实践的工程师和设计师。它是一份需要时间去消化的厚礼。

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我必须指出，这本书的装帧和排版也极大地提升了阅读体验。对于一本涉及大量符号和复杂图形的书籍来说，清晰的视觉呈现至关重要。这里的字体选择恰到好处，疏密有致，即便是那些需要精确对齐的矩阵和张量表示，也丝毫不会让人感到眼花缭乱。更重要的是，作者在论述的逻辑流上做到了极致的精炼。它避免了冗长且不必要的铺垫，直击核心概念，然后通过层层递进的论证将其夯实。读起来有一种酣畅淋漓的感觉，思路始终保持连贯。特别是关于微分几何的部分，作者巧妙地引入了曲率的概念，并将其与物理世界的引力场联系起来，这种跨学科的视野，让几何学不再是孤立的知识体系，而是描述宇宙运行规律的基础语言。我甚至觉得，这本书更像是一部关于“结构本质”的哲学散文，只不过其论证工具是严密的数学语言。它确实提升了我对空间几何的敬畏之心，让我看到了形式背后隐藏的绝对美感。

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当我翻开这本书的扉页时，我本来预期会看到一本厚重、干燥的纯理论著作，但事实证明我的预感是错误的。这本书的叙事节奏掌握得非常到位，它懂得何时该放慢脚步，详细剖析一个关键定理的证明过程，又能在何时迅速推进，将看似不相关的几个几何分支巧妙地串联起来。最让我印象深刻的是它对“对称性”的讨论，作者没有停留在二维的镜面对称，而是深入挖掘了晶体结构、分形几何中的更高维度对称，那种跨越尺度的统一感，令人震撼。文字风格非常鲜活，带着一种老派学者的严谨，但又不失幽默感和对读者的体贴——它仿佛有一个耐心的向导，随时准备为你指出前方的陷阱和隐藏的捷径。我曾尝试过其他几本关于几何学的导论，但它们往往在中途就让我感到迷失和挫败，而这本则像是一条铺设精良的栈道，虽然路途遥远，但每一步都踏实可靠。它成功地架设了一座桥梁，连接了纯粹的数学思考和实际的工程应用，让我看到了几何学在现代科技中的不可替代性。

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这本书的价值，很大程度上体现在它对“视角转换”的强调上。作者似乎坚信，理解几何的真谛，关键在于学会从不同的坐标系和公理体系中审视同一个对象。我特别喜欢其中关于射影几何的那几章，它如何优雅地处理了“无穷远点”的概念，这不仅是数学上的突破，更是一种深刻的思维解放。它迫使我跳出惯性的三维直觉，去拥抱更高维度的抽象空间。阅读体验非常沉浸，我常常在深夜里，点着一盏灯，对着书中的某些证明图反复揣摩，试图用自己的语言复述出来，这种主动参与构建知识体系的过程，远比被动接受信息来得有效。虽然涉及的内容颇深，但作者在关键转折点总是会插入一些历史轶事或者著名的数学家的“顿悟时刻”，这些穿插的小故事，极大地缓和了学术的严肃性，使整个阅读过程充满了人文色彩。这本书无疑需要读者投入时间与精力，但它所回报的思维上的拓展，是任何其他类型的书籍都无法比拟的。

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这本书，读起来就像是踏入了一个错综复杂但又极其优雅的迷宫。作者对于空间、形状和比例的理解，已经超越了单纯的数学公式堆砌，而是将其升华为一种近乎哲学的探讨。我尤其欣赏它对古代文明中几何学应用的梳理，那些宏伟的建筑和精密的仪器背后，隐藏着怎样深邃的思考？书中的插图和图解清晰明了，即便是对于初次接触高等几何概念的读者，也能循着作者的引导，逐步领略到那些抽象概念的具象之美。它不仅仅是一本教科书，更像是一本关于“秩序之美”的宣言。书中对欧几里德体系的重述，并非简单的复述，而是融入了现代拓扑学和非欧几何的视角，使得古老的知识焕发出新的生命力。每读完一个章节，都会有一种豁然开朗的感觉，仿佛世界在你眼前被重新建构，一切都找到了其最和谐的排列方式。那种对完美形式的追求，贯穿始终，让人在阅读过程中不断反思我们日常生活中所忽略的那些隐藏在表象之下的结构性真理。这本书无疑是献给所有热爱逻辑与美学完美结合的探索者的宝贵财富，它挑战你的思维边界，也抚慰你对和谐的渴望。

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