Generalized Convexity and Related Topics pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Springer Verlag

作者:Rubinov, Alexander M. 编

出品人:

页数:469

译者:

出版时间:

价格:$ 157.07

装帧:Pap

isbn号码:9783540370062

丛书系列:

图书标签:

• Convexity
• Optimization
• Mathematical Analysis
• Nonlinear Programming
• Variational Analysis
• Generalized Monotonicity
• Duality
• Fixed Point Theory
• Game Theory
• Economic Applications

好的，这是一本关于非线性优化与凸分析前沿进展的图书简介，旨在全面探讨当前数学规划、凸几何以及相关领域中涌现出的新理论、新方法和应用。 --- 书名：非线性优化与凸分析前沿进展：从理论基础到高维应用 图书简介 本书汇集了近年来在数学规划、优化理论、函数分析以及几何学交叉领域取得的突破性成果。它不仅为资深研究人员提供了深入的理论探讨，也为致力于求解复杂工程、经济和数据科学问题的学者提供了一套强有力的工具集。全书结构严谨，内容涵盖了从经典理论的现代重构到面向大规模计算的新型方法论。 第一部分：凸集与泛函的结构重构 本部分着眼于对经典凸性概念进行推广和深化，以应对非光滑、非凸甚至集合结构不确定的优化场景。 第一章：广义凸集与次微分的现代视角 本章首先回顾了传统凸集与支撑函数的性质，随后深入探讨了准凸性（Quasi-convexity）、水平集凸性（Level-set convexity）以及在 Banach 空间中定义的局部凸性。重点在于建立新的次微分概念，如Mordukhovich次微分和Clarke 广义梯度在非光滑优化中的精确收敛性分析。讨论了如何利用这些广义梯度来刻画具有奇异点的最优解集。 第二章：凸分析中的拓扑结构与极限定理 本章聚焦于泛函分析在凸优化中的应用。详细阐述了拓扑度理论在证明非线性算子不动点存在性上的作用，特别是针对具有高阶非线性的泛函方程。讨论了变分极限（Variational Limits）和$Gamma$-收敛理论，这些理论是处理材料科学中微观结构演化和图像处理中正则化模型的基础。分析了变分不等式解集的稳定性与分支现象。 第三章：非光滑分析中的熵正则化与平滑化技术 针对优化问题中常见的不可微目标函数，本章系统介绍了如何通过添加熵项（Entropy Regularization）或使用Fenchel-Moreau 变换进行平滑化处理。深入讨论了 Moreau-Yosida 正则化在求解一类变分不等式中的有效性，并给出了平滑化算法的全局收敛性证明，特别关注其在机器学习中的经验风险最小化问题中的应用。 第二部分：现代优化算法与计算方法 本部分侧重于将理论成果转化为高效的计算方案，特别关注大规模、高维以及分布式环境下的算法设计。 第四章：一阶方法的收敛性分析与加速技术 详细剖析了一阶优化方法（First-Order Methods）的理论基础，包括梯度下降法（GD）、次梯度法（Subgradient Method）的收敛速度界限。重点介绍了Nesterov 加速技术的推广形式，以及针对具有强凸性或 Lipschitz 连续梯度的特定问题类（如 $mu$-强凸问题）如何实现最优复杂度界限。讨论了随机梯度下降（SGD）在非凸设置下的平均迭代收敛性分析。 第五章：高精度二阶方法的演化与稀疏性处理 本章探讨了牛顿法及其变体在处理大规模二次规划和拟牛顿法中的内存效率问题。深入分析了信赖域方法（Trust-Region Methods）的理论框架，特别是如何自适应地调整信赖域半径以适应非凸曲率变化。引入了拟-牛顿法的矩阵结构保留方法，如 L-BFGS 的并行化策略，以及如何利用Hessian 稀疏性来降低计算负担。 第六章：分布式与约束优化的新范式 随着计算环境的扩展，分布式优化成为核心议题。本章详细阐述了交替方向乘子法（ADMM）的原理、收敛性证明及其在带有复杂约束（如线性等式约束、范数约束）下的应用。深入探讨了对偶上升法（Dual Ascent）和原对偶混合梯度法（Primal-Dual Hybrid Gradient, PDHG）在分布式信号重建和大规模凸优化问题中的性能优势。 第七章：随机优化与决策制定 本章关注在数据不确定性下进行最优决策的问题。系统介绍了随机规划（Stochastic Programming）的分类（两阶段、多阶段）和求解方法。重点分析了样本平均近似（Sample Average Approximation, SAA）方法的统计收敛性。讨论了在金融工程和鲁棒优化中，如何通过场景生成（Scenario Generation）和机会约束（Chance Constraints）来量化和管理风险。 第三部分：前沿交叉领域中的应用与模型 本部分展示了优化理论如何解决现代科学面临的复杂建模挑战。 第八章：变分不等式与互补问题 本章将优化问题统一于变分不等式（Variational Inequalities, VIs）的框架下。详细介绍了求解 VIs 的投影方法（Projection Methods）和罚函数法（Penalty Methods）。讨论了在网络流、均衡分析以及弹性体分析中遇到的特定结构 VIs（如具有拉普拉斯算子内核的 VIs）。 第九章：几何优化与流形学习 本章关注在黎曼流形上进行优化的问题。探讨了黎曼梯度下降法（Riemannian Gradient Descent）的收敛性，特别是在正定矩阵流形和Stiefel 流形上的应用，这些在主成分分析（PCA）的扩展和张量分解中至关重要。引入了测地线的概念来指导优化路径的搜索。 第十章：大规模正则化与稀疏建模 本章聚焦于高维数据分析中的核心问题——稀疏表示。深入分析了 $ell_1$ 范数（LASSO）的理论性质，包括其一致性与稀疏性。讨论了桥接回归（Bridge Regression）和弹性网络（Elastic Net）等混合正则化方法的原理及其对模型选择的影响。最后，探讨了如何利用原子范数（Atomic Norms）处理更复杂的低秩或结构化稀疏性问题。 --- 本书的特点： 理论深度与计算广度并重： 确保每个新引入的数学工具都附带了清晰的算法实现路径。 现代术语与严格证明： 采用当前国际学术界公认的最前沿的数学符号和技术术语，所有关键结果均提供详尽的证明或清晰的论证逻辑。 面向应用驱动： 大量使用来自信号处理、机器学习和控制论的实例来激励理论发展和算法选择。 本书是数学、应用数学、运筹学、计算机科学以及工程控制领域研究生、博士后及一线研究人员的理想参考书。

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