Invariant Measures on Groups and Their Use in Statistics, Ims Lecture Notes Monograph Series No. 14 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Inst of Mathematical Statistic

作者:Wijsman, Robert A.

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页数:0

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出版时间:

价格:30

装帧:Pap

isbn号码:9780940600195

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• 统计学
• 群论
• 不变测度
• 概率论
• 数学统计
• Ims讲义
• 随机过程
• 调和分析
• 拓扑群
• 测度论

群论中的不变测度及其在统计学中的应用 这本书深入探讨了群论中一个核心概念——不变测度，并详细阐述了它在统计学领域的广泛而深刻的应用。从抽象的数学结构到具体的数据分析方法，本书为读者勾勒了一幅迷人的理论图景，揭示了不变测度如何成为理解和解决统计学问题的强大工具。 第一部分：不变测度的基础理论 本书首先奠定了不变测度理论的坚实基础。它从群的定义和基本性质出发，引导读者逐步理解什么是测度，以及在群结构下测度如何保持“不变”。 群的引入与分类： 详细介绍了各种类型的群，包括阿贝尔群、非阿贝尔群、有限群、无限群，以及李群等重要的连续群。对于每种群，都将阐述其在数学和物理学中的重要性，以及理解其结构对后续讨论的必要性。 测度的概念与性质： 深入讲解了集合论中的测度理论，包括测度的定义、外测度、可测集、以及测度空间等基本概念。重点会放在测度在不同集合上的构造和性质，例如测度的可数可加性、单调性等。 不变测度的定义与存在性： 核心部分将聚焦于“不变测度”的定义。我们将严格定义在群作用下的测度不变性，即测度在群的左平移（或右平移）下保持不变。随后，将详细讨论在不同类型的群上，不变测度的存在性与唯一性问题。例如，对于紧致群，哈尔测度（Haar measure）的存在性和唯一性是基本结论，我们将给出详细的证明。对于非紧致群，则会探讨在何种条件下存在不变测度，以及其可能的形态。 哈尔测度的构造与性质： 特别会 devote substantial attention to the construction and properties of the Haar measure. For compact groups, the Haar measure is a fundamental invariant measure. The book will guide readers through the process of constructing the Haar measure, potentially using methods such as the left-invariant integral or by leveraging the group's topological properties. The book will also explore key properties of the Haar measure, such as its relation to the group's structure and its role in integration theory on groups. 其他类型的不变测度： 除了哈尔测度，本书还会介绍其他类型的与群结构相关的不变测度，例如在李群上的左不变测度与右不变测度之间的关系，以及它们如何由群的代数结构决定。 第二部分：不变测度在统计学中的应用 在建立起坚实的理论基础后，本书将重点展示不变测度如何在统计学中发挥关键作用，解决各种实际问题。 概率度量与随机变量在群上的分布： 将讨论如何在群结构上定义概率度量，以及随机变量在群上的分布。不变测度在这里扮演了至关重要的角色，它为在群上定义“均匀”分布或具有特定对称性的分布提供了数学框架。例如，在李群上，不变测度可以用来定义一个在群上“平均”的概率分布。 参数估计与假设检验： 不变测度在参数估计和假设检验中有着广泛的应用。 不变估计量： 重点会放在“不变估计量”的定义和性质上。考虑一个统计量，它在群的变换下保持不变，例如，如果一个参数的估计量在某些变换下不变，这通常意味着该估计量具有良好的统计性质。我们将探讨如何构造这些不变估计量，以及它们的优势，例如无偏性、一致性等。 不变检验： 同样，在假设检验中，不变检验是指在某些群作用下，检验的拒绝域保持不变。本书将阐述不变检验如何抵御特定的参数变换，从而提供更稳健的统计推断。例如，在涉及到位置参数的统计问题中，考虑位置不变的检验。 似然比检验与不变性： 将讨论似然比检验与不变性之间的联系。在许多情况下，似然比检验是统计上最有效的方法之一，而其不变性性质往往与群论中的不变测度紧密相关。 多变量统计分析的群论视角： 协方差矩阵的结构与变换： 对于多变量数据，协方差矩阵的变换在许多统计分析中扮演核心角色。例如，在主成分分析（PCA）或因子分析中，我们常常需要考虑数据在旋转变换下的行为。将解释不变测度如何帮助理解这些变换对数据分布和统计推断的影响。 Wishart分布与不变性： Wishart分布是多变量统计中的一个重要分布，它与正定矩阵的结构密切相关。本书将探讨Wishart分布与群论中的不变测度之间的联系，以及它们在协方差矩阵估计和检验中的应用。 典型相关分析（Canonical Correlation Analysis）： 典型相关分析旨在寻找两个变量集之间的线性关系。本书将从群论的角度解释典型相关分析的内在不变性，并展示不变测度如何用于理解和推广这类分析。 时间序列分析与信号处理中的应用： 平稳时间序列的性质： 平稳时间序列具有在时间上分布不变的性质，这与群论中的不变性有着深刻的类比。本书将探讨不变测度如何帮助我们理解和分析平稳过程的统计性质。 傅里叶分析与群论： 傅里叶分析在信号处理和时间序列分析中至关重要。它与群论中的傅里叶变换紧密相连，而傅里叶变换的性质也与不变测度息息相关。本书将展示如何利用群论的工具来理解傅里叶分析在统计信号处理中的强大威力。 贝叶斯统计与不变性先验： 不依赖先验（Noninformative Priors）： 在贝叶斯统计中，选择一个“不依赖”于参数的先验分布是很重要的。本书将探讨如何利用不变测度的概念来构造这类先验，例如哈尔分布可以作为某些群上参数的无信息先验。 后验分布的性质： 在某些情况下，不变测度可以帮助我们理解后验分布的性质，并提供更稳健的贝叶斯推断。 目标读者 本书适合对群论、测度论和统计学有一定了解的研究生、博士后以及从事相关研究的学者。对于希望深入理解统计学中对称性、不变性及其在理论和实践中应用的研究人员来说，本书将是不可或缺的参考。它不仅提供严谨的数学证明，更重要的是，它将揭示抽象的群论概念如何为解决复杂的统计问题提供深刻的洞见。

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这本书的封面设计极具古典韵味，厚重的纸张和严谨的字体排版，仿佛让我回到了那个数学理论正在蓬勃发展的黄金时代。从装帧的质感上就能感受到编者对内容严肃性的尊重。我记得第一次翻开它时，那种扑面而来的数学气息，让我对即将开始的旅程充满了敬畏。它不是那种轻轻松松就能读完的读物，更像是一场漫长而艰深的智力探险。书中的概念推导过程严密到令人窒息，每一个定理的引用都像是精心布置的棋局，环环相扣，不留一丝模糊的余地。尤其是关于测度空间和群作用的那几章，作者的处理方式非常精妙，他没有采用那种流水账式的罗列，而是通过一系列巧妙的类比和几何直观来引导读者深入理解那些抽象的拓扑结构。读完第一部分，我感觉自己对“不变性”这个概念有了全新的认识，不再仅仅停留在代数的层面，而是体会到了它在分析和几何中的深刻内涵。这种扎实的理论基础构建，无疑是日后进行任何高级统计建模或深入研究的基石。

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我是在一个偶然的机会下接触到这本书的，当时正在为一篇关于时间序列模型的稳健性寻找更深层次的数学解释。这本书虽然标题听起来偏向于纯粹的群论和测度论，但它在统计应用方面的引申价值却被许多人低估了。尤其是在处理那些依赖于对称性或尺度不变性的现象时，书中的一些构建工具显得异常有力。我特别欣赏作者在处理奇异点时的谨慎态度，他没有回避那些理论上的“灰色地带”，而是用严谨的构造来确保结果的普适性。这种对理论边界的清晰界定，极大地帮助我修正了之前在模型假设上的一些不严谨之处。可以说，这本书提供了一个分析框架，使得原本看似经验性的统计选择，有了一个坚实的数学公理作为支撑。它不直接教你如何写代码或跑回归，但它教会你如何从最基本的原理出发，去质疑和构建你的统计工具箱。

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作为一位在金融数学领域摸爬滚打多年的研究者，我发现这本书的真正价值在于它对“一致性”和“平衡态”概念的深刻阐述，这些概念在金融衍生品定价的随机分析模型中有着隐秘而关键的作用。它提供的工具集，虽然源于抽象代数和拓扑空间，却能有效地帮助我们理解为什么某些市场行为会趋于一个稳定的、可预测的状态，以及在什么条件下这种稳定性会被破坏。这本书没有给我现成的金融公式，但它给了我“看穿”公式背后数学必然性的视角。我最喜欢它在讨论遍历性理论时所展现出的那种宏观视野，它将微观的随机游走提升到了一个更高层次的群作用的视角下来审视，这种思维上的跃迁是令人振奋的。对于希望将自己的数学功底提升到能够直接挑战前沿领域——无论是统计物理、信息论还是复杂的动力系统——的读者来说，这本书是不可绕过的一道高墙，翻越之后，视野会变得无比开阔。

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这本书的语言风格，坦率地说，对于初学者来说，简直是一场灾难。它完全是为那些已经具备了扎实泛函分析和群论背景的专业人士准备的“密语手册”。作者似乎完全预设了读者已经完全熟悉了各种高等数学符号和惯例，因此在解释核心概念时，跳跃性非常大。我花了整整一个星期的时间，才勉强啃下了其中关于哈尔测度和左不变测量的基础章节。但一旦你突破了最初的认知壁垒，你会发现其内部逻辑的完美无瑕。它就像一座设计极其复杂的钟表，每一个齿轮都咬合得天衣无缝，一旦掌握了驱动它的核心原理（也就是那些看似晦涩的定义），整个系统的运行就会变得清晰起来。对于那些渴望真正理解现代统计物理和高维数据分析背后数学骨架的人来说，这本书的价值是无可替代的。它强迫你思考，而不是被动接受，这正是好教科书的魅力所在。

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这本书的排版和印刷质量，说实话，在这个数字时代显得有些过时，但恰恰是这种“过时感”赋予了它一种厚重感和权威性。当我需要参考某个特定的定理或引理时，那种在纸张上寻找墨迹的感觉，比在电子屏幕上搜索关键词要来得更加专注和有效。书中大量的数学公式，通过精心的版式设计，被有效地组织起来，虽然密度很大，但很少出现混淆的情况。不过，我必须指出，这本书的索引部分做得并不理想，对于那些想要快速定位某个特定群论分支应用的学习者来说，查找起来会比较费劲。它更倾向于引导你从头到尾进行系统性的学习，而不是作为一个工具书来快速查阅。因此，建议读者在阅读过程中，最好准备一本笔记本，勤于梳理结构图和关键定义之间的相互关系，否则很容易在庞大的理论体系中迷失方向。

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