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出版者:Key Curriculum Pr

作者:Alper, Lynne/ Fendel, Daniel M./ Fraser, Sherry/ Resek, Diane

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:50.9

装帧:HRD

isbn号码:9781559536608

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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探索高等代数与离散结构：严谨与应用的交汇点 图书名称： 现代数学基础：代数、逻辑与计算 作者： 杜兰·里德（Dr. Eleanor Reid） 页数： 约 780 页 目标读者： 计算机科学专业本科生、数学系高年级学生、对抽象代数和离散结构有深入学习需求的工程师和研究人员。 内容概述： 本书旨在为读者构建一个坚实的现代数学基础，重点聚焦于抽象代数的核心概念及其在离散结构中的应用。我们避免了微积分和分析学的传统叙事线，转而深入探究那些支撑现代计算理论、密码学和算法设计的底层代数框架。全书结构严谨，逻辑清晰，力求在保持数学纯粹性的同时，展现这些抽象工具在解决实际问题中的强大威力。 第一部分：群论的基石与结构 本部分详细阐述了群（Groups）的概念，将其视为研究对称性和变换的基本框架。 第一章：基础代数结构 我们从二元运算的性质出发，定义了幺半群、独异点和群。重点讨论了子群、陪集和拉格朗日定理的深刻意义。这里引入了循环群的完整分类，并以对称群 $S_n$ 和二面体群 $D_n$ 作为范例，展示了非交换群的复杂性。为了帮助读者建立直观理解，本章包含了大量的几何和矩阵表示例子。 第二章：群同态与商群 本章深入探讨了群之间的结构保持映射——同态与同构。通过第一同构定理（Fundamental Theorem of Homomorphisms），我们建立了群结构与其正规子群之间的桥梁，这是理解抽象结构分解的关键。商群（Factor Groups）的构造被细致讲解，并配以实例展示了如何通过“除以”一个正规子群来简化群的结构分析。 第三章：作用与分类 本章聚焦于群在集合上的作用（Group Actions），这是连接代数与组合学的关键。我们详细推导了轨道-稳定化子定理，并利用它来解决计数问题，例如Burnside引理的初步应用。此外，我们探讨了 $p$-群和Sylow定理，它们为有限群的结构分析提供了不可或缺的工具，特别是它们在分解非阿贝尔群时的应用。 第二部分：环、域与代数构造 从群的单操作世界过渡到更丰富的双操作代数结构——环（Rings）。 第四章：环论导论 定义了环、交换环和整环。我们着重讨论了单位、零因子以及环同态的概念。本章花费大量篇幅区分了理想（Ideals）与子环，并阐述了商环的构造。特别关注了主理想域（PIDs）和唯一因子域（UFDs），如 $mathbb{Z}$ 和多项式环 $F[x]$。 第五章：域的扩展与构造 本章是代数结构中的一个关键飞跃，它专注于域（Fields）——那些允许除法的环。我们详细研究了域的扩张（Field Extensions），包括代数扩张和超越扩张。介绍了有理数域 $mathbb{Q}$ 上扩张域的构造，并展示了如何使用极小多项式来构建新的域，为后续的伽罗瓦理论奠定基础（尽管本书不深入伽罗瓦理论本身，但为理解其背景提供了必要的代数工具）。 第六章：多项式环与因式分解 专门深入研究多项式环 $F[x]$，证明其具有欧几里得域的性质，并最终证明其是唯一因子域。讨论了多项式的最大公约式（GCD）的计算方法（如欧几里得算法在多项式上的应用）以及有理根定理。 第三部分：离散结构与计算联系 本部分将前两部分的代数思想应用于离散数学和计算科学的特定领域。 第七章：布尔代数与逻辑系统 我们将结构分析转向非数值系统。本章详细介绍了布尔代数（Boolean Algebras）的定义，它不仅仅是集合论的工具，更是现代电子电路设计和命题逻辑的代数基础。我们探讨了代数结构（如格）与逻辑真值之间的精确对应关系，并简要讨论了如何用环论的观点来重构布尔环。 第八章：有限域的应用 本章是理论与实践结合的典范。我们详细研究了有限域（Galois Fields, $mathbb{F}_q$），它们的构造主要依赖于不可约多项式的根。重点分析了 $mathbb{F}_{2^k}$ 的性质，并展示了这些有限域如何在错误检测和纠正码（如汉明码）以及有限域上的椭圆曲线密码学（作为基础概念引入）中发挥作用。 第九章：组合结构与代数计数 结合群作用的成果，本章转向组合计数。我们重新审视了Burnside引理和Polya计数理论，并展示如何通过计算特定群作用下的轨道数量，来精确计数具有某种对称性的对象集合，例如特定结构的项链或图的标记方式。 附录：基础集合论回顾 提供了一个关于集合、映射、基数和关系的基础回顾，以确保读者对抽象结构的讨论有共同的语言基础。 本书特色： 1. 概念的深度分离： 严格区分了群、环和域的层次结构，强调每种结构引入的新操作和新限制带来的理论力量。 2. 计算的驱动： 每个抽象概念的引入都伴随着一个明确的计算或应用动机，避免了纯粹的定义堆砌。 3. 证明的完整性： 所有关键定理的证明都力求详尽无遗，同时穿插了对证明思想的直觉性解释。 本书的阅读体验是层层递进的：从对称性的基础（群），到数字和多项式的结构（环与域），最后到这些结构在信息论和计算中的具体实现（有限域与布尔代数）。它要求读者具备扎实的逻辑思维能力，并准备好迎接数学抽象的挑战。

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