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出版者:Addison-Wesley

作者:Carson, Tom/ Gillespie, Ellyn/ Jordan, Bill E.

出品人:

页数:968

译者:

出版时间:2006-1

价格:$ 166.48

装帧:HRD

isbn号码:9780321358370

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 初等数学
• 基础数学
• 数学教材
• 教育
• 学习
• 高中数学
• 入门
• 数学
• 教科书

数学思想的奠基：深入探索《线性代数基础与应用》 图书名称： 线性代数基础与应用 (Linear Algebra: Foundations and Applications) 目标读者： 具备基础代数知识的本科生、工程、物理、计算机科学、经济学等领域的科研人员及专业人士。 图书概述： 《线性代数基础与应用》旨在为读者提供一套全面、深入且富有洞察力的线性代数知识体系。本书不仅严格论证了核心概念，更强调了线性代数在现代科学、技术与工程中的实际应用。我们坚信，理解线性代数的本质，是掌握高等数学、数据科学乃至人工智能等前沿领域不可或缺的基石。本书结构清晰，逻辑严密，从向量空间的基本结构出发，逐步过渡到矩阵理论、特征值分析、正交化方法，最终涵盖了应用层面的多元优化与数值稳定性。 第一部分：向量空间的基石 (Foundations of Vector Spaces) 本部分致力于为读者构建一个坚实的概念框架，理解线性代数的“语言”——向量空间。 第一章：向量与线性组合 (Vectors and Linear Combinations) 本章从直观的几何向量出发，逐步抽象到一般的向量空间定义。我们详细讨论了域（Field）的概念及其对向量空间结构的影响。核心内容包括线性组合、线性相关性与线性无关性的判断标准，以及如何利用行简化梯队（Row Echelon Form, REF）来精确判定向量组的线性关系。我们引入了“跨度”（Span）的概念，并探讨了其在定义子空间中的关键作用。 第二章：子空间、基与维度 (Subspaces, Basis, and Dimension) 子空间是向量空间的基本组成部分。本章系统地介绍了四种基本子空间——列空间（Column Space）、零空间（Null Space）、行空间（Row Space）和左零空间（Left Null Space）。重点在于掌握如何通过高斯消元法精确求出这些子空间的基和维度。我们严格证明了“基是生成一组向量的最小集合”以及“任何基的向量个数相等”这一关键定理，从而确立了维度的唯一性概念。此外，还探讨了基的变换与坐标表示。 第三章：线性变换与矩阵表示 (Linear Transformations and Matrix Representation) 线性变换是连接不同向量空间的“桥梁”。本章将抽象的线性变换具象化为矩阵。我们详细分析了复合变换的矩阵乘法意义，以及变换的核（Kernel）与像（Image）如何对应于零空间和列空间。本节的重点在于理解“相似变换”与矩阵的相似性，这为后续的特征值分解奠定了理论基础。我们探讨了基的选择如何影响矩阵的表示形式，并引入了坐标变换矩阵。 第二部分：线性方程组与矩阵分解 (Linear Systems and Matrix Decomposition) 本部分将理论应用到解决实际问题中最核心的环节：求解线性方程组，并通过矩阵分解揭示矩阵的内在结构。 第四章：线性方程组的求解 (Solving Linear Systems) 本章是全书的实用核心。我们深入分析了方程组 $Amathbf{x}=mathbf{b}$ 解集的结构，即特解与通解的关系。高斯-约旦消元法被作为求解线性方程组的标准工具。我们详细讨论了矩阵的秩（Rank）在确定解的存在性和唯一性中的作用。本章还涉及了矩阵的逆（Inverse Matrix）的性质、计算方法及其在方程组求解中的应用。 第五章：矩阵的直接分解 (Direct Matrix Decompositions) 矩阵分解是简化复杂计算、揭示矩阵性质的关键技术。本章重点介绍了几种基础但极为重要的分解形式： 1. LU 分解： 描述了如何通过初等矩阵将矩阵分解为下三角矩阵和上三角矩阵的乘积，及其在求解大量具有相同系数矩阵的方程组中的效率优势。 2. 置换矩阵与行互换： 探讨了在消元过程中引入行互换（由置换矩阵 $P$ 表示）的必要性，形成 $PA=LU$ 的形式。 3. Cholesky 分解： 专门针对对称正定矩阵的分解，这是后续优化算法（如牛顿法）中不可或缺的工具。 第六章：正交性与最小二乘法 (Orthogonality and Least Squares) 正交性是线性代数中“最干净”的关系。本章引入了内积空间的概念，定义了正交和正交补集。 1. Gram-Schmidt 正交化过程： 详细演示了如何将任意一组基转化为一组正交基，并推导出构造正交基的标准算法。 2. QR 分解： 利用 Gram-Schmidt 过程，我们将任意矩阵 $A$ 分解为正交矩阵 $Q$ 和上三角矩阵 $R$ 的乘积 ($A=QR$)。该分解在数值稳定性方面具有显著优势。 3. 最小二乘问题： 当方程组无解时，我们寻求最佳近似解。本章推导出正规方程（Normal Equations） $mathbf{A}^{mathrm{T}}mathbf{A}mathbf{x}=mathbf{A}^{mathrm{T}}mathbf{b}$，并结合 QR 分解展示了求解最小二乘问题的稳定方法。 第三部分：特征分析与动力系统 (Eigenanalysis and Dynamical Systems) 本部分聚焦于特征值和特征向量，它们描述了线性变换对特定方向的影响，是分析动态系统和矩阵稳定性的核心工具。 第七章：特征值与特征向量 (Eigenvalues and Eigenvectors) 本章深入探讨了特征方程 $det(mathbf{A}-lambda mathbf{I})=0$ 的求解及其几何意义。我们区分了代数重数和几何重数，并讨论了可对角化矩阵的充要条件。本章强调了特征空间是矩阵作用下保持方向不变的子空间。 第八章：对角化与函数演算 (Diagonalization and Matrix Functions) 如果一个矩阵可以对角化，计算其高次幂 $mathbf{A}^k$ 或矩阵函数 $e^{mathbf{A}}$ 将变得异常简单。本章详细说明了对角化矩阵 $mathbf{A}=mathbf{P}mathbf{D}mathbf{P}^{-1}$ 的构造过程及其应用。我们探讨了微分方程组 $frac{dmathbf{x}}{dt} = mathbf{A}mathbf{x}$ 的解法，展示了特征值在分析系统稳定性和长期行为中的决定性作用。 第九章：对称矩阵的特殊性质 (Special Properties of Symmetric Matrices) 对称矩阵在应用中无处不在（如协方差矩阵、能量矩阵）。本章证明了对称矩阵的特征值均为实数，且特征向量互相正交，这使得对称矩阵总是可对角化的。我们引入了 谱定理 (Spectral Theorem)，这是连接几何、代数与分析的桥梁。 第十章：二次型与奇异值分解 (Quadratic Forms and Singular Value Decomposition) 二次型 $f(mathbf{x})=mathbf{x}^{mathrm{T}}mathbf{A}mathbf{x}$ 的分析是理解多维空间曲面的基础。本章通过特征值分析讨论二次型的正定性、半正定性，并引入了主成分分析（PCA）的理论基础。 奇异值分解 (SVD) 被视为矩阵分解的“终极形式”。即使是非方阵，SVD 也能将其分解为三个基本矩阵的乘积： $mathbf{A}=mathbf{U}mathbf{Sigma}mathbf{V}^{mathrm{T}}$。本章详细阐述了 SVD 与伪逆（Pseudoinverse）、低秩近似（Low-Rank Approximation）的关系，揭示了其在数据压缩、图像处理和推荐系统中的强大威力。 学习目标与特色： 本书的特色在于理论的严谨性与应用的紧密结合。每一章节都配备了大量的例题，并辅以“应用聚焦”的探讨，如数值稳定性分析、迭代方法（如幂法和瑞利商迭代）的初步介绍。读者在完成本书的学习后，不仅能熟练掌握矩阵的计算技巧，更能深刻理解线性代数作为现代科学语言的内在美感和普适性。本书旨在培养读者将复杂现实问题抽象为向量空间模型，并利用矩阵代数工具进行有效求解的能力。

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我对《Elementary Algebra》这本书的整体印象是“实用”和“启发”。它的讲解方式并非一成不变，而是根据不同概念的特点，灵活运用了多种教学技巧。对于一些关键的概念，例如因式分解，作者会从不同的角度进行阐释，比如通过面积模型、多项式乘法的逆运算等，确保读者能够从多个维度去理解。书中的练习题类型也非常丰富，除了常规的计算题和应用题，还穿插了一些需要逻辑推理和分析能力的“挑战题”，这些题目虽然有一定难度，但解决它们的过程本身就是一种宝贵的学习经历。我曾在一个关于二次方程根的性质的章节卡住，书中通过引入判别式，并详细解释了判别式与根的个数和类型之间的关系，让我清晰地认识到了这一点。这本书的另一个亮点在于，它不仅仅关注“怎么做”，更强调“为什么这么做”，引导读者去思考数学的内在逻辑和原理。它培养了我独立思考和解决问题的能力，让我不再仅仅是依赖老师或教材的讲解，而是能够主动地去探索数学的奥秘。这本书让我感觉自己不再是被动地接受知识，而是积极地参与到数学的学习过程中。

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说实话，我当初选择《Elementary Algebra》是抱着试一试的心态，毕竟市面上代数书籍琳琅满目，很难说哪本是真正适合自己的。然而，这本书给我带来的惊喜是显而易见的。它的结构非常合理，章节之间的过渡自然流畅，仿佛在引领读者进行一次数学世界的探险。我特别欣赏作者在引入新概念时所采取的策略，他不会一次性抛出大量复杂的定义和定理，而是先通过一些简单的问题引导读者思考，激发他们的好奇心，然后再逐步揭示背后的数学原理。这种“先疑后问，以问促学”的方式，极大地提高了我的学习效率。书中提供的练习题难度梯度设置得非常到位，从基础巩固到拔高拓展，总有一类能挑战到我，让我保持学习的动力。而且，书中的习题解答不仅仅是给出答案，更重要的是提供了详细的解题思路和多种解题方法，这让我学会了举一反三，在遇到类似问题时能够灵活运用。我曾花了很长时间在一个关于函数图像的问题上，这本书的讲解让我豁然开朗，理解了函数变化与图像形状之间的内在联系。这本书就像一个经验丰富的数学向导，带领我穿越代数的迷雾，找到清晰的路径。

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我是一名多年没有接触过数学的学生，在准备重返校园的过程中，希望能够快速掌握基础代数知识。《Elementary Algebra》这本书的内容深度和广度都非常适合我这样的“重返者”。它没有预设读者已经拥有深厚的数学背景，而是从零开始，非常扎实地讲解了代数的核心概念。例如，对于负数的运算，书中的解释非常详细，并且用到了数轴等可视化工具，让我彻底理解了负数之间的加减乘除法则。更让我印象深刻的是，作者在讲解方程组的求解时，不仅介绍了代入法和消元法，还尝试用图形化的方式来解释方程组的解所代表的几何意义，这对我来说是全新的视角，也帮助我理解了代数问题与几何图形之间的联系。这本书的语言风格非常朴实易懂，没有过多华丽的辞藻，而是直击核心，用最清晰的语言阐述最复杂的概念。我曾经因为一道关于不等式的应用题而困惑不已，这本书中关于不等式性质的讲解，以及如何将实际问题转化为不等式模型，让我受益匪浅。它让我重新找回了学习数学的信心，并且为我后续更深入的学习打下了坚实的基础。

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这本书简直是数学恐惧症患者的救星！我一直对代数望而生畏，觉得那些字母和符号就像天书一样难以理解。但《Elementary Algebra》彻底改变了我的看法。作者的讲解方式非常循序渐进，从最基础的概念入手，比如变量是什么、如何表示未知数，然后逐步深入到方程的求解。每一章都配有大量精心设计的例题，这些例题涵盖了各种不同类型的问题，而且解答过程非常清晰，一步一步地展示了如何运用所学的知识来解决问题。我尤其喜欢作者在解释概念时使用的类比和生活化的例子，这让我更容易将抽象的数学知识与现实世界联系起来，理解起来也就不那么枯燥了。以前我常常因为一个公式看不懂而卡住，但这本书的解释让我感觉就像有人在耳边耐心指导一样，总能找到理解的突破口。它不仅仅是教授解题技巧，更是帮助我建立起对代数的自信心。我记得有一次，我遇到一个棘手的应用题，脑子一片混乱，但当我翻回书里相关的章节，重新梳理一遍概念和例题后，茅塞顿开，最终顺利解决了问题。这本书的排版也很舒适，不会显得过于拥挤，阅读体验很好。它真的让代数变得触手可及，不再是遥不可及的学术难题。

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坦白说，市面上大多数的代数教材都让我觉得过于理论化，缺乏实践性。《Elementary Algebra》这本书在这一点上做得相当出色。它不仅仅是关于公式和定理的堆砌，而是非常注重数学知识在实际生活中的应用。书中包含了大量贴近生活的应用题，例如计算贷款利息、分析增长率、优化资源分配等等，这些都让我看到了代数的力量。作者在讲解这些应用题时，会详细分析问题的背景，指导读者如何提取关键信息，并将其转化为代数模型。这种“问题导向”的学习方法，让我在解决实际问题的过程中，更加深刻地理解了代数知识的价值。我记得书里有一个关于“最大化收益”的例子，通过设置变量和建立代数方程，最终找到了最优解。这个例子让我对代数在经济学和商业决策中的应用有了初步的认识。此外，书中还鼓励读者自己动手去探索和发现，不仅仅是照搬例题，而是引导他们去思考“为什么”和“怎么样”。这种主动学习的方式，让我觉得代数不再是死记硬背的知识，而是可以用来解决真实世界问题的强大工具。

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