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出版者:Pearson Prentice Hall

作者:Charles, Randall I./ Illingworth, Mark/ McNemar, Bonnie/ Mills, Darwin/ Ramirez, Alma

出品人:

页数:746

译者:

出版时间:

价格:78.8

装帧:HRD

isbn号码:9780131339934

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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• 微积分
• 高中数学
• 数学教材

远航者之径：构建现代思维的几何与代数探秘 书籍名称：远航者之径：构建现代思维的几何与代数探秘 ISBN/出版信息： 待定，预计 2024 年秋季出版，由启明学苑出版社发行。 目标读者： 高中阶段（10 至 12 年级）学生，对数学原理有深入探究兴趣的大学生，以及希望巩固基础、提升抽象思维能力的成人学习者。 --- 内容概述： 《远航者之径：构建现代思维的几何与代数探秘》并非一套简单的工具书，而是一场带领读者穿越数学世界核心概念的史诗级旅程。本书旨在超越公式的堆砌和步骤的机械执行，深入探究几何学的空间直觉与代数学的逻辑框架是如何相互交织，共同支撑起我们理解世界的现代数学范式。本书的核心理念在于：真正的数学能力，来源于对“为什么”的深刻理解，而非对“如何做”的熟练掌握。 全书结构清晰，分为三大核心模块，并辅以“历史回溯”与“前沿展望”作为章节间的桥梁，确保知识体系的连贯性与历史厚重感。 第一卷：欧几里得的遗产与非欧的边界——几何学的空间哲学 本卷聚焦于几何学的根基，但其视角不再局限于平面绘图，而是将其视为研究空间结构与变换的基本语言。 第一章：公理系统的建立与严谨性训练 本章深入剖析了欧几里得几何学的五大公设，并重点探讨了“平行公设”的历史争议。我们将引导读者亲手尝试推导基于不同公设集的几何系统，理解公理体系的脆弱性与力量。内容包括：集合论基础在几何中的初步应用（如点的定义与线的构成），以及如何使用逻辑推理而非直觉来证明定理。 第二章：解析几何的诞生——笛卡尔的统一视野 解析几何是代数与几何的第一次伟大联姻。本章详细讲解了平面直角坐标系如何将复杂的几何问题转化为代数方程。重点解析抛物线、椭圆和双曲线的参数方程与极坐标表示法，并引入二次型矩阵在识别圆锥曲线类型中的应用，为后续的高维空间几何打下基础。 第三章：向量空间的初步感知 为了向更高维度的拓扑学和线性代数过渡，本章引入了向量的基本概念。我们不直接使用复杂的矩阵运算，而是通过“位移”和“作用力”的物理模型来理解向量的加减法、标量乘法以及线性组合。二维和三维向量的几何意义将是本章的重点，如点积（投影）和叉积（面积/法线）的几何解释。 第四章：几何的危机与拓扑的兴起 本章将挑战读者对“形状”的传统认知。在简要介绍非欧几何（如球面几何）的奇特性质后，我们将转向拓扑学——研究在连续形变下保持不变的性质。重点讨论“同胚”的概念，通过莫比乌斯带、克莱因瓶等拓扑学原型的构造与分析，展现几何学如何从度量转向属性。 --- 第二卷：数的扩张与结构的演绎——代数的核心逻辑 本卷着重于代数运算的本质，从有理数域的封闭性出发，逐步构建起抽象代数世界的坚实框架。 第五章：多项式方程的根与伽罗瓦的革命 本章从因式分解、有理根定理开始，逐步探讨高次方程的求解难题。我们将详细回顾巴比伦人和印度数学家在求解二次方程上的智慧，随后深入分析三次和四次方程的求解公式的复杂性。高潮部分在于对伽罗瓦理论的非形式化介绍——理解为什么五次及以上方程在一般情况下无法通过根式求解，这标志着从具体计算到抽象群论思想的飞跃。 第六章：域、环与群——抽象代数的雏形 本章是建立抽象思维的关键。我们通过实际例子（如整数的加法/乘法、多项式的运算）来定义“群”、“环”和“域”的概念。重点在于理解封闭性、结合律、交换律等基本运算律在不同结构中的体现，而非仅仅记忆定义。例如，将整数模 $n$ 的运算系统作为一个“有限域”进行分析。 第七章：函数的本质：映射与变换 函数不再仅仅是 $y=f(x)$ 的曲线，而是从一个集合到另一个集合的“映射”（Transformation）。本章细致区分了单射、满射和双射的几何与逻辑含义。我们将使用映射的概念来重新审视几何变换（如旋转、反射、缩放），为理解线性变换做铺垫。 第八章：概率论的代数基础与不确定性 概率论被视为处理不确定性的代数工具。本章从组合学计数原理出发，建立古典概率模型。核心内容包括条件概率、贝叶斯定理的逻辑结构，以及如何使用代数框架来量化和预测随机事件的发生频率。 --- 第三卷：连接的桥梁——微积分的动态视角 本卷将几何的瞬时变化概念与代数的极限思想相结合，构建起描述连续运动和累积效应的微积分体系。 第九章：极限的严谨性：从直觉到 $epsilon-delta$ 语言 抛开对导数的“斜率”的表面理解，本章旨在彻底理解“极限”这一概念的严格定义。我们将通过几何逼近和数列的收敛性来引入 $epsilon-delta$ 语言，揭示微积分为何能在数百年后依然保持其逻辑上的坚不可摧。 第十章：导数：瞬时变化率的精确捕获 导数的计算规则将被置于次要地位，重点在于理解导数作为函数局部线性近似的几何意义。讨论如何使用导数来分析函数的极值点、凹凸性，以及解决实际工程问题中的优化目标。 第十一章：积分：无限求和与面积的精确累积 本章将积分定义为黎曼和的极限，强调其作为“累积效应”的本质。通过几何图形（如圆面积的计算）和物理模型（如变力做功），直观展示牛顿-莱布尼茨公式的威力——微分与积分的互逆关系，是数学史上最伟大的发现之一。 第十二章：多元微积分的初步视野 为了展望更广阔的空间，本章简要引入偏导数和多重积分的概念。我们将用三维空间中的“地形图”来解释偏导数，并展示积分如何从一维的线段累积扩展到二维的曲面（体积计算）。 --- 特色板块： 1. 历史回溯： 每个模块前都设有一篇短文，追溯关键概念（如零的概念、虚数、微积分的争论）在不同文明中的演变过程。 2. 思维工具箱： 章节末尾提供一系列“概念转化练习”，要求读者必须使用不同于本章主要方法的技巧来解决问题（例如，用向量方法证明几何定理，或用代数方法求解微分方程的特解）。 3. 前沿展望： 简要介绍如微分几何、拓扑代数等与本书内容直接相关的现代数学分支，激发读者的后续学习兴趣。 本书风格： 语言力求精确、清晰，同时保持一种引导性的、富有启发性的对话语气。本书大量采用手绘图示和结构化思维导图，以确保复杂的抽象概念能够被直观地把握。本书不提供标准教科书式的冗长习题集，而是提供一系列富有挑战性的“探究问题”，鼓励读者进行数学建模和证明推理，真正成为自己数学知识体系的“远航者”。

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