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出版者:Research & Education Assn

作者:Rea

出品人:

页数:96

译者:

出版时间:1987-10

价格:$ 7.85

装帧:Pap

isbn号码:9780878915699

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 三角学
• 数学
• 高等数学
• 函数
• 方程
• 图形
• 三角函数
• 数学分析
• 预微积分

好的，这是一本关于《高级微积分与微分几何导论》的图书简介，内容完全不涉及代数与三角学： --- 高级微积分与微分几何导论：从欧几里得空间到流形上的张量分析 作者： [此处应填写虚构的资深数学家姓名] 出版社： 环宇学术出版社 预计页数： 约 980 页（全彩印刷，包含大量图示与证明结构图） 目标读者： 数学、物理学（理论物理、广义相对论、弦论）、工程学（控制论、高级建模）以及计算机科学（几何处理、机器学习的理论基础）的研究生、高年级本科生，以及寻求严谨数学基础的专业人士。 --- 内容概述 本书旨在为读者提供一条从经典多变量微积分（$mathbb{R}^n$ 上的分析）到现代微分几何核心概念的平稳且严谨的过渡路径。我们深刻认识到，要真正理解现代物理学和几何学的语言，必须超越坐标系的限制，掌握关于函数的内在性质和流形结构的研究方法。 全书分为四大核心模块，循序渐进地构建起读者对高维空间和曲线结构的直觉与计算能力，最终导向张量分析和流形上的积分理论。 模块一：回归与深化——多变量分析的严谨基础（约 250 页） 本模块是对传统多变量微积分概念的彻底重塑，重点在于提升对“一致性”和“拓扑邻域”的理解，为后续引入抽象空间做准备。 1. 欧几里得空间的拓扑结构重审： 详述开集、闭集、紧集、完备性的严格定义。引入 $mathbb{R}^n$ 上的度量空间概念，并探讨如何将这些概念推广到一般的赋范线性空间。 2. 微分的高阶视角： 深入探讨 Fréchet 导数 和 Gateaux 导数 的区别与联系，强调它们的几何意义——最优线性逼近。引入 Hessian 矩阵 的几何解释，以及它如何通过二次型来刻画曲率。重点分析隐函数定理和反函数定理在局部结构分析中的关键作用，并给出其在更高维度上的推广证明。 3. 向量场与流： 首次引入常微分方程组在 $mathbb{R}^n$ 上的解的存在性与唯一性（Picard 迭代法）。将向量场视为切空间上的元素，并详细阐述流（Flow）的概念，这是理解空间动态演化的基础。 4. 积分的拓扑基础： 重新审视 $mathbb{R}^n$ 上的黎曼积分，并无缝过渡到 Lebesgue 积分 的基本思想。虽然本书并非 Lebesgue 分析的专著，但引入 Lebesgue 测度的概念，对于理解后文中的测度论在微分几何中的应用至关重要。 模块二：线性代数与张量分析的融合（约 280 页） 这是连接经典分析与现代几何的关键桥梁。我们关注的是那些独立于所选坐标系的量——张量。 1. 基础张量代数： 严格定义张量积、对称张量和反对称张量。深入讲解张量的协变性和反变性（上标和下标的意义），以及如何通过指标提升和下降（使用度量张量 $g_{ij}$）在不同类型的张量间进行转换。 2. 多重线性映射与楔积： 详细介绍 Grassmann 代数 的基础，利用 楔积（外积） $wedge$ 来定义 $k$ 阶微分形式。这使得体积和定向的概念可以被优雅地处理，避免了对叉积的依赖。 3. 张量场的微分算子： 在 $mathbb{R}^n$ 上定义张量场的协变导数。此部分为下一模块的黎曼几何打下基础，通过引入 Christoffel 符号，阐明了在弯曲空间中“保持平行”的真正含义。 4. 经典场论的张量表达： 通过实例（如电磁场张量 $F_{mu u}$ 和应力-能量张量 $T_{mu u}$），展示张量分析在物理定律形式不变性中的核心地位。 模块三：流形理论的初步构建（约 250 页） 将分析工具提升到更抽象、更一般的空间——微分流形。 1. 拓扑流形的定义与结构： 严格定义拓扑流形，并介绍坐标图集（Atlas）和转移映射（Transition Maps）的概念。强调转移映射的光滑性是连接不同局部视图的必要条件。 2. 切空间与切丛： 这是本书的几何核心。通过方向导数的极限定义，引入切空间 $T_pM$。详细解释切空间是所有“可微路径”的线性张成空间。继而构建切丛（Tangent Bundle） $TM$，它是所有点的切空间的整体集合。 3. 微分形式与外微分： 在流形上推广模块二中的概念。定义流形上的微分 $k$-形式 $omega$。核心是 外微分算子 $d$，它满足 $d^2 = 0$ 的代数性质，并自然地统一了梯度、旋度和散度。 4. 向量场在流形上的积分： 讨论如何沿着流形上的曲线积分向量场（线积分），以及如何积分微分形式（面积分/体积分），为广义 Stokes 定理做铺垫。 模块四：广义积分定理与几何物理（约 200 页） 本模块将本书的所有元素汇集起来，展示现代分析几何的威力。 1. 广义 Stokes 定理： 给出形式最完美、结论最深刻的广义 Stokes 定理： $$ int_{partial M} omega = int_{M} domega $$ 详细分析其在 $mathbb{R}^3$ 上的退化形式（Green、Gauss、Stokes 基本定理），展示这些经典定理只是一个统一框架下的特例。 2. 黎曼度量与联络： 引入黎曼流形的概念，即在每一点的切空间上赋予一个内积（度量张量 $g$）。使用度量张量定义黎曼联络（Levi-Civita 联络），它是保证协变导数在黎曼几何中保持一致性的关键。 3. 测地线与曲率： 利用黎曼联络定义测地线（弯曲空间中的“直线”），并推导出测地线方程。最后，介绍 黎曼曲率张量 $R^a{}_{bcd}$，它是衡量空间“弯曲程度”的内在量，是理解广义相对论的最终数学工具。 --- 本书特色 严格性与直觉的平衡： 每一抽象概念的引入都伴随着 $mathbb{R}^n$ 上的具体实例，确保读者既能掌握严密的证明，又能建立清晰的几何图像。 张量优先视角： 早期引入张量概念，使得读者在进入流形时，对坐标变换的敏感性自然降低，直接聚焦于内在几何。 丰富的图示与例子： 包含大量三维可视化图例，特别是在解释楔积、切空间和曲率时，提供清晰的视觉辅助。 面向应用的结构： 最后的应用章节（虽然不深入探讨具体物理模型）清晰地展示了这些数学工具在现代科学中的不可替代性。 本书是通往现代微分几何、拓扑学以及理论物理研究领域的坚实起点，它将代数和三角学中的基础知识，转化为处理高维复杂结构的强大分析引擎。

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我是一名刚接触微积分预备课程的学生，坦白说，我对代数和三角函数的“深度挖掘”一直感到有些力不从心，总觉得那些概念像漂浮在空中的碎片，难以串联。然而，这本书的叙事逻辑简直是教科书级别的典范。它不是简单地堆砌公式和例题，而是非常注重“为什么”和“如何应用”的内在联系。比如，它讲解单位圆时，不仅仅是给出定义，而是巧妙地将三角函数与周期性现象（比如钟摆的运动或者波的传播）联系起来，这让我瞬间明白了这些抽象函数在物理世界中的实际意义。当我面对那些看似无解的方程组时，作者引导我从几何角度去思考解的存在性，那种豁然开朗的感觉，至今难忘。唯一的“小刺”在于，部分习题的难度跨度有点大，从基础巩固题到挑战思维的综合题，中间的过渡区略显仓促，有时候做完一道基础题后，下一道难题会让人产生一种思维上的“断裂感”，需要自己花更多时间去寻找那座缺失的桥梁。

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这本书在细节处理上的用心程度，让我这个习惯了“快餐式学习”的现代读者也忍不住放慢了脚步。它的“历史角注”部分做得非常出色，你知道吗，当我了解到欧拉是如何定义指数函数时，那种历史的厚重感和知识的演变过程，比单纯记住 $e^{ipi} + 1 = 0$ 这个公式要来得深刻得多。作者没有把数学史当作可有可无的点缀，而是将其融入到核心知识点的讲解中，让那些枯燥的定义鲜活了起来。再说说它的练习题设计，它似乎非常清楚地知道学生在哪里会“卡住”，那些容易混淆的正负号、角度制与弧度制的转换，总能在关键时刻出现一个专门针对性的“陷阱提醒”。不过，我对其中的某些高级证明题的解释略感不足，作者倾向于给出最简洁、最优雅的证明路径，这对于追求效率的人来说很好，但对于我这种需要“手把手”带着走的人来说，如果能多提供一两个替代性的、更直观的证明思路作为补充，阅读体验会更完美。

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这本书的封面设计简直是数学教材界的清流，那种深邃的蓝色调配上简洁的几何图形，一下子就抓住了我的眼球。我原以为这种看似高冷的风格会让人望而却步，但翻开内页才发现，那种严谨中透着一丝亲切感的设计哲学贯穿始终。尤其要提一下它的版式排布，那些复杂的公式和定理被安排得井井有条，每一步推导都仿佛有一位耐心的导师在你旁边亲自讲解，空行和留白的处理非常到位，让眼睛得到了充分的休息，这对于长时间阅读抽象概念的我来说，简直是福音。不过，话说回来，我对几何图形的直观展示部分有点小小的遗憾，虽然文字描述详尽，但如果能在某些关键的三角函数图像变化部分，能增加一些动态或三维可视化的辅助图例，相信会让初学者对概念的理解更上一层楼。整体而言，从视觉到触感，这本书都传递出一种“专业且易于亲近”的信号，成功地打破了我对传统代数与三角学教科书的刻板印象。

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作为一个已经工作多年的职场人士，我这次重新拾起这本书是为了回顾和应用。我发现它最大的价值在于其极强的可迁移性。我原以为这类教材会过于侧重理论的纯粹性，但这本书在应用实例的选择上非常具有前瞻性。它没有停留在简单的物理抛物线问题上，而是引入了信号处理中的傅里叶级数概念的初步概述，虽然只是点到为止，但足以激发我对更深层次知识的探索欲。那种“授人以渔”的教学理念，让我感觉这本书更像是一位经验丰富的老工程师在传授他多年积淀的工具箱知识，而非一个学术研究者在展示他精美的理论大厦。美中不足的是，对于那些在工程领域对复数和极坐标表示法有较高要求的读者来说，这本书在后期的应用章节中，对这些工具的“深度操作”讲解略显保守，更偏向于概念的建立而非复杂计算的技巧指导。

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从纯粹的数学严谨性角度来看，这本书无疑是顶级的，它对函数空间的连续性和极限的定义把握得恰到好处，为后续学习分析学打下了坚实的基础。作者在处理那些涉及无穷级数和迭代函数的收敛性问题时，那种步步为营、滴水不漏的论证过程，让人对数学的确定性深信不疑。特别是它对三角函数的几何解释和代数表达式之间的完美平衡，让我这个曾经偏科的学生找到了信心。但我必须指出，这种高度的抽象性在初期确实形成了一道门槛。对于完全没有接触过高等数学预备知识的读者，开篇介绍的集合论和逻辑符号可能会让人感到有些突兀和晦涩，这些“基础装备”的讲解篇幅如果能再增加一些，用更生活化的类比去解释这些抽象工具的必要性，或许能更有效地降低读者的入门焦虑感，让更多的潜在学习者能顺利跨入代数与三角学的世界。

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