Fixed Point Index and Some Applications (Seminaire de mathematiques superieures) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Gaetan Morin Editeur Ltee

作者:Roger D. Nussbaum

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1985-06

价格:USD 18.00

装帧:Paperback

isbn号码:9782760607118

丛书系列:

图书标签:

• Fixed Point Theory
• Index Theory
• Topological Degree
• Nonlinear Analysis
• Differential Equations
• Variational Methods
• Functional Analysis
• Mathematical Analysis
• Seminar
• Mathematics

《固定点索引与一些应用》（Seminaire de mathematiques superieures）内容综述 本书是高等数学研讨班系列中的一部重要著作，专注于现代数学分析领域中一个基础而核心的概念——固定点理论。该书深入探讨了固定点索引的数学构造、性质及其在拓扑学、微分方程以及相关分析分支中的广泛应用。全书结构严谨，逻辑清晰，旨在为具有一定数学基础的研究人员和高年级学生提供一个全面而深刻的视角。 第一部分：基础拓扑与度量空间回顾 在正式引入固定点理论之前，作者首先对相关的拓扑学和度量空间概念进行了必要的复习和深化。这部分内容为后续更抽象的理论奠定了基础。 1. 拓扑空间的基本概念重述： 强调了邻域、开集、闭集的定义及其相互关系。特别关注了紧致性（Compactness）和连通性（Connectedness）在不动点存在性证明中的关键作用。作者详细阐述了紧致空间的性质，如每个开复盖都有有限子复盖，并引入了紧凑性在泛函分析中的重要性。 2. 度量空间与完备性： 详细讨论了度量空间的结构，并着重分析了完备性（Completeness）的概念。完备性是巴拿赫不动点定理（Banach Fixed-Point Theorem）的核心前提。书中对柯西序列的定义和收敛性进行了细致的剖析，并给出了多个完备度量空间的实例，如 $mathbb{R}^n$ 上的标准度量空间以及某些函数空间的完备化构造。 3. 连续映射与紧致映射： 深入讨论了函数空间中的连续性。对于有限维空间中的连续映射，书中使用拓扑方法证明了连续自映射在紧集上的不动点存在性（布劳威尔不动点定理的拓扑基础）。此外，还引入了紧致映射的概念，并探讨了它与紧集之间的关系。 第二部分：固定点索引的构造与性质 本书的核心内容集中于固定点索引（Fixed Point Index）的理论构建。索引理论是代数拓扑工具在分析问题中应用的一个典范。 1. 映射的度（Degree of a Map）与索引的起源： 作者首先从经典的度理论（Degree Theory）出发，讨论了它在线性空间中不动点的计数问题上的局限性。固定点索引的概念是对度理论在一般拓扑空间上的一种推广和泛化。 2. 拓扑流形与边界： 索引的定义需要在一个适当的拓扑结构上进行，通常是在带有边界的流形（Manifold with Boundary）上。书中详细介绍了局部欧几里得空间、嵌入（Embedding）和浸没（Immersion）等概念，为定义索引所需的局部结构做准备。 3. 索引的正式定义： 索引的定义是本书中最技术性的部分。它基于对映射的“逼近”和“同伦不变性”。作者采用了一种分步构造法： 首先在有限维欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 中，定义一个光滑函数 $f$ 在孤立不动点 $x_0$ 处的指数。 接着，将这一概念推广到紧致流形 $M$ 上的连续自映射 $f: M o M$，其中 $x_0$ 是一个孤立不动点。 最终，索引 $i(f, U)$ 被定义为一个整数（或在更一般的拓扑空间中为一个代数对象），它依赖于映射 $f$ 在某个包含不动点的开邻域 $U$ 上的局部行为。 4. 索引的性质： 书中详细列举并证明了固定点索引的几个关键性质： 不变性： 索引对同伦是保持不变的。如果 $f$ 和 $g$ 是同伦的，且在邻域 $U$ 内没有新的不动点产生，则 $i(f, U) = i(g, U)$。 可加性： 如果不动点集 $F = {x | f(x)=x}$ 是离散的，且包含在不相交的开集 $U_1, U_2, dots, U_k$ 中，则 $i(f, F) = sum_{j=1}^k i(f, U_j)$。 关联性（Local Property）： 索引仅取决于不动点 $x_0$ 附近的映射行为，与流形 $M$ 的其余部分无关。 第三部分：应用实例与定理 本书的价值不仅在于理论的构建，更在于其在分析学中的实际应用。 1. 布劳威尔不动点定理的索引证明： 虽然布劳威尔定理（对于紧凸集上的连续映射必有不动点）通常通过拓扑度或拓扑挖掘论证，但书中展示了如何利用索引的非零性来间接证明：如果索引不为零，则不动点必须存在。这强调了索引理论作为存在性工具的威力。 2. 庞加莱-霍普夫定理（Poincaré-Hopf Theorem）： 这是一个重要的拓扑结果，它将向量场（可以看作是映射 $f(x) = x + v(x)$ 的零点问题）与流形的拓扑不变量（如欧拉示性数 $chi(M)$）联系起来。索引理论提供了证明该定理的简洁途径：流形 $M$ 上的向量场 $v$ 的所有奇点的索引之和等于 $M$ 的欧拉示性数。 3. 奇点理论中的应用： 在研究函数的局部性质时，固定点索引可用于分析光滑函数或微分算子的零点。当局部映射可以被线性化时，索引的值与线性化矩阵的特征值结构（特别是涉及零特征值的情况）紧密相关。 4. 动力系统中的有限维周期点： 虽然本书主要关注不动点，但索引的概念可以自然地推广到周期点。在分析有限维映射的迭代 $f^k(x)=x$ 时，索引理论可以帮助确定周期点的存在性和重数。 5. 泛函分析中的不动点存在性： 虽然指数理论在无限维空间的应用需要更强大的工具（如光滑性假设和特定的规范），但作者在结论部分简要探讨了如何将有限维的索引概念类比到某些特定的无限维巴拿赫空间上，特别是那些具有有限维切空间的映射。这为研究更复杂的非线性算子不动点问题提供了概念上的桥梁。 总结 《固定点索引与一些应用》是一部结构严谨的专著，它成功地将代数拓扑的精妙工具引入到经典分析问题的研究中。通过详尽地构造和论证固定点索引的性质，本书不仅巩固了读者对不动点存在性定理的理解，更展示了如何利用这些强大的拓扑不变量来解决和量化微分几何和拓扑动力学中的关键问题。全书的深度和广度使其成为高等数学研究的必备参考书之一。

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这本书的整体气质散发着一种沉静的学术力量，它不是那种追求哗众取宠或短平快结论的读物，它更像是一位老教授精心准备的、旨在引导学生进行深度思考的课堂讲稿集锦。文字的运用克制而精准，没有多余的形容词去渲染气氛，所有的论述都建立在扎实的逻辑基础之上。阅读它，你会感受到一种被知识的确定性所包围的踏实感。即便是那些最为艰深的证明，作者也似乎在用一种近乎耐心的笔触将其分解、拆解，力求将数学的“美”和“力量”以最清晰的方式呈现出来，整体而言，它散发出的是一种值得细细品味和反复研读的学术芳香。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮。封面采用了那种经典的硬壳精装，触感温润而厚实，一看就知道是经过精心打磨的出版物。字体选择上，书名和作者信息排版得疏密有致，既保持了学术书籍应有的庄重感，又不失一种低调的优雅。特别是那个抽象的图形元素，虽然我还没深究它与内容有何关联，但仅从视觉效果上看，它赋予了整本书一种现代而又略带神秘的气质，让人在书架上第一眼就会被吸引过去。内页的纸张质地也十分考究，米白色的纸张有效减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳，印刷的清晰度更是无可挑剔，即便是最复杂的数学符号也能看得清清楚楚，边距的留白也恰到好处，提供了足够的空间供读者做批注和思考，这对于一本严肃的数学专著来说，无疑是加分项，体现了出版方对知识传播载体本身的重视。

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我花了些时间阅读了前言和目录结构，可以感觉到作者在组织内容时下了极大的苦功。整个章节的逻辑推进非常自然，从基础概念的铺陈到高级理论的深入探讨，过渡得如行云流水一般。尤其欣赏它在引入新概念时所采用的循序渐进的方式，它似乎深知初学者和资深研究者在理解上的不同侧重面，力图在保持数学严谨性的前提下，尽可能地降低读者的入门门槛。这种结构安排使得读者即便在面对高度抽象的数学结构时，也能清晰地把握住每一个论证环节的来龙去脉，而不是被一堆符号淹没。书中的例子选择也极具匠心，它们往往不是那种孤立的、为了展示技巧而存在的“玩具”例子，而是与理论的实际应用场景紧密挂钩，这极大地增强了学习的动机和实用价值。

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作为一名习惯于快速浏览和信息提取的读者，我惊喜地发现这本书在“索引”部分的构建上是极其细致的。通常这类专著的索引要么过于简单，要么过于繁琐，但这本处理得恰到好处。它不仅涵盖了所有核心术语，还包含了那些在特定章节中被反复提及但可能不是“中心词汇”的辅助概念。当你需要快速定位某个特定定义在哪个章节被首次提出，或者某个推论在哪里被应用时，这个索引系统能让你在极短的时间内找到目标位置，这极大地提高了查阅效率，减少了在浩瀚的篇幅中“迷路”的可能性。这种对工具性部分的重视，显示出作者和出版社是真正从读者的日常使用体验出发来设计这本书的。

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这本书的排版风格，说实话，很有“老派”学术著作的风范，但又加入了现代印刷技术的优势。字体大小适中，行间距的处理非常舒服，长时间沉浸其中，很少出现需要频繁调整视线焦点的疲劳感。更值得称赞的是，那些复杂的定理、定义和引理部分，都被清晰地用粗体或不同的边框框选出来，视觉上的层级划分非常明确，这对于需要频繁查阅特定公式或结论的研究者来说，简直是福音。另外，我注意到书本在脚注和参考文献的处理上也极为规范，引用格式统一且详尽，这不仅体现了作者的学术诚信，也为希望进行更深入拓展阅读的读者指明了方向，可以说，在细节的打磨上，它达到了教科书级别的标准。

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