Groups, Generators, Syzygies, and Orbits in Invariant Theory pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

出版者:Amer Mathematical Society

作者:Popov, Vladimir Leonidovich

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:

价格:54

装帧:Pap

isbn号码:9780821845578

丛书系列:Translations of Mathematical Monographs

图书标签:

• Invariant Theory
• Group Actions
• Syzygies
• Generators
• Algebraic Geometry
• Commutative Algebra
• Polynomial Rings
• Representation Theory
• Combinatorics
• Noetherian Rings

《抽象代数导论：群、环与域》 作者： 史蒂文·J·麦克劳林 出版社： 伽马出版社 出版年份： 2023年 页数： 780页 --- 内容简介 《抽象代数导论：群、环与域》是一本旨在为高等数学本科生和初级研究生提供坚实抽象代数基础的教材。本书立足于严谨的数学逻辑，深入浅出地介绍了现代代数的核心概念、定理及其在各个数学分支中的应用。全书结构清晰，内容组织遵循由具体到抽象、循序渐进的原则，力求在保持数学深度与广度的同时，确保初学者能够顺利跨越抽象思维的门槛。 本书共分为六个主要部分，共计十八章，系统地覆盖了群论、环论和域论这三大支柱： 第一部分：预备知识与集合论基础 (第1-2章) 在正式进入抽象代数的世界之前，本书首先回顾了必要的预备知识，包括集合、函数、关系、等价关系以及基本的数论概念，特别是模运算和欧几里得算法。这部分内容旨在确保所有读者具备相同的数学语言基础，为后续的抽象结构建立坚实的基石。 第二部分：群论——对称性的结构 (第3-8章) 群论是抽象代数的第一个核心领域。本书从二元运算的定义出发，详细阐述了群的公理、子群、陪集和拉格朗日定理。 第三章：群的基本性质与例子 详细讨论了有限群和无限群的定义，并给出了充足的例子，如整数加法群、可逆矩阵群 $ ext{GL}_n(F)$、二面体群 $D_n$ 和对称群 $S_n$。特别地，对称群的结构分析被置于突出地位，为理解置换提供了直观模型。 第四章：循环群与生成元 专注于最简单的群结构——循环群。本章深入探讨了群的生成元、阶的概念以及循环群的唯一子群结构。 第五章：同态与同构 引入了保持群结构映射的概念。群同态的定义、性质，特别是核（Kernel）和像（Image）的性质被详尽论证。同构的概念被用来揭示看似不同的群之间可能存在的内在同一性。 第六章：正规子群与商群 这是构建更复杂群结构的关键一步。正规子群的定义及其重要性被深入探讨，随后引入了商群（或因子群）的构造，这是代数结构“分解”的第一个实例。 第七章：群作用与轨道 本章将群论的应用提升到新的高度。介绍了群在集合上的作用，并详细推导了轨道-稳定子定理，这是一个强大的工具，用于计算集合上的计数问题和结构分析。 第八章：有限生成阿贝尔群的基本定理 本章专为研究生和希望深入研究的本科生设计，提供了关于有限生成阿贝尔群的分类定理的证明，这是模块论和线性代数中相关理论的铺垫。 第三部分：环论——代数运算的扩展 (第9-12章) 本书随后转向环，这是同时拥有加法和乘法运算的代数结构。 第九章：环的定义与基本例子 从集合、二元运算扩展到具有两个运算的结构。书中详细分析了交换环、单位环、整环以及域等概念，并通过矩阵环、多项式环等非交换和非整环的例子来增强理解。 第十-十一章：子环、理想与商环 类似于群论中的子群和正规子群，本书清晰区分了子环和理想。理想的性质，特别是双边理想，是构建商环的必要条件。商环的构造及其与同态定理的联系被详细阐述。 第十二章：整环中的整除性 这一章重点关注具有乘法消去律的环——整环。本章引入了整除性、关联元、主理想整环（PID）、唯一分解整环（UFD）和欧几里得整环（ED）的层次结构。本书提供了清晰的证明，展示了 $Z$ 和多项式环 $F[x]$ 如何属于这些分类，并探讨了它们之间的包含关系。 第四部分：域论——解方程的艺术 (第13-15章) 域论是抽象代数在代数几何和伽罗瓦理论中的基础。 第十三章：域的构造与特征 详细考察了域的特征（0或素数p），并探讨了素域（最小子域）的概念。 第十四章：多项式环与不可约性 深入研究多项式环 $F[x]$ 的性质，特别是其作为欧几里得整环的地位。本章重点讲解了多项式在域上的分解，并介绍了判断多项式不可约性的关键工具，如艾森斯坦准则和有理根定理。 第十五章：域的扩张 域扩张是域论的核心。本书定义了扩张次数，并系统地介绍了代数扩张与超越扩张。代数元的最小多项式概念被严格定义和分析。 第五部分：特定结构的深入探索 (第16-17章) 为了将理论知识与更专业的领域连接起来，本书专门辟出两章深入探讨了两个重要的特殊结构。 第十六章：有限域 构造和描述了所有有限域（伽罗瓦域）的存在性，并证明了它们的存在性和唯一性（在同构意义上）。这部分内容为密码学和编码理论的读者提供了必要的背景知识。 第十七章：模初步 作为环论的自然延伸，本章简要介绍了模的概念，将其视为环上的向量空间推广。这为后续学习线性代数的高级主题（如结构定理）做了准备。 第六部分：应用与展望 (第18章) 最后一章简要概述了抽象代数在其他领域的应用，例如将群论应用于晶体学和化学对称性，以及如何将本章所学知识（如UFD、PID）应用于数论中的费马大定理的某些情况的初步分析。 本书特色 1. 例证驱动： 每引入一个新概念，作者都提供了至少三个不同类型的例子，涵盖数论（$mathbb{Z}$）、几何（对称群 $D_n$）和抽象构造（商群）。 2. 定理证明详尽： 核心定理（如拉格朗日定理、第一同构定理、有限生成阿贝尔群分类定理）的证明步骤详细且逻辑清晰，便于读者追踪。 3. 区分层级： 明确区分了群、环、整环、PID、UFD、ED之间的包含关系，避免了概念混淆。 4. 面向计算： 书中穿插了大量的“计算练习”，要求读者亲手计算陪集、核、商环元素或判断多项式的不可约性，以巩固理论理解。 5. 风格严谨： 本书的写作风格高度忠实于标准数学文献的严谨性，避免使用口语化或模糊的表达，确保概念的精确性。 《抽象代数导论：群、环与域》是渴望构建稳固、深刻的抽象代数知识体系的数学学习者不可或缺的参考书。它不仅教授“是什么”，更着重于“为什么”和“如何证明”。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

我特别欣赏作者在介绍“奇异点”理论与“轨道稳定性”之间的联系时所采用的论证结构。它以一种近乎诗意的笔触，将看似不相关的代数结构连接了起来，展现出数学内部惊人的统一性。书中关于如何构造最小多项式族来描述特定群作用下的不动点集的部分，其推导过程的流畅性令人拍案叫绝。不同于许多现代数学书籍倾向于使用过于简化的符号系统，这本书在保持严谨性的同时，依然保留了一些传统数学论述的优雅和细节，使得读者在理解证明步骤时，能够更好地把握其背后的几何直觉。这本书读下来，感觉像是在与一位博学而谦逊的大师进行了一场漫长而深入的学术漫步，虽然步履维艰，但沿途的风景绝对值得用生命去铭记和珍藏。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和印刷质量堪称一流，这对于需要长时间面对复杂数学公式的读者来说，是一个巨大的加分项。乳白色的纸张有效减轻了长时间阅读带来的视觉疲劳。然而，恕我直言，这本书的门槛确实非常高。它假定读者已经对初等代数和拓扑学有着非常扎实的背景，任何基础知识的薄弱都可能成为理解后续章节的巨大障碍。我曾在一个下午试图快速浏览关于“同调群的计算”那一章，结果发现自己像是在雾里看花，那些层层嵌套的范畴和函子符号几乎让人窒息。它需要的是心无旁骛的沉浸式阅读，最好是配合纸笔进行大量的演算和图示绘制。毫不夸张地说，这本书更适合作为博士阶段研究生的核心参考书，或者是在职研究人员的案头必备工具书，而不是给初学者尝试接触不变量理论的“敲门砖”。

评分☆☆☆☆☆

读完这本书的前三章，我深切体会到作者在构建理论体系时的匠心独运。它没有采用传统教材那种平铺直叙的讲解方式，而是将“生成元”和“西齐吉”（Syzygies）这两个核心概念巧妙地编织在一起，形成了一个互为支撑的逻辑网络。这种编排方式迫使读者必须时刻保持高度的警觉性，因为前一个章节看似不经意的定义，可能在后来的推导中爆发出惊人的威力。我特别留意了关于模空间（Moduli Spaces）的部分，作者在处理退化情形时的论述极为精炼，几乎没有一句废话，每一个断句都仿佛经过了千锤百炼的打磨。这使得整本书读起来如同在攀登一座技术难度极高的数学高峰，每一步都需要精确计算和坚定的信念。对于那些习惯于线性阅读的读者来说，可能需要花费更多时间去回顾和消化其中的跳跃性思维，但一旦跨越了初期的门槛，那种豁然开朗的境界感是其他任何书籍都难以比拟的。

评分☆☆☆☆☆

作为一本专注于特定领域的专著，这本书在细节处理上的极致追求令人印象深刻。它不仅仅是罗列公式和证明，更像是在进行一场跨越数百年的数学对话。作者频繁地引用了从高斯到现代学者的经典工作，并用最新的工具对其进行了重新审视和拓展。我发现其中关于“不变性群作用下的动力学”那几节尤其精彩，它将群论的抽象美感与实际的几何结构完美地融合在一起，使得原本冰冷的代数结构似乎拥有了生命。我试着将书中的某些构造应用于我正在研究的一个实际物理问题中，发现它提供了一种全新的、更优雅的解决路径。这本书的价值不在于它能给你一个即时的答案，而在于它能彻底重塑你思考问题的方式，让你学会用更深层次的对称性语言去解读世界。这种思维方法的革新，远比记住几个定理来得更有价值。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计非常引人注目，深邃的蓝色调与烫金的字体搭配，散发着一种古典与现代交织的神秘感，让人一眼就能感受到其内容的深度与广度。虽然我还没有完全读完，但初步翻阅下来，那些密密麻麻的数学符号和严谨的逻辑推导，立刻将我拉入了一个高度抽象的世界。它不像那些旨在快速入门的科普读物，而更像是一份为资深研究者准备的精致地图，指引着那些热衷于探索代数几何和表示论前沿的头脑。特别是那些关于“轨道”和“对称性”的讨论，似乎不仅仅停留在理论层面，更在试图揭示宇宙万物背后隐藏的秩序与美感。我尤其欣赏作者在引入新概念时所展现的耐心，即便是最艰深的定理，也总能在前后的铺垫中找到一个合理的立足点。对于那些希望在不变量理论领域深耕细作的学者而言，这本书无疑是一份不可多得的宝藏，它要求读者全身心的投入，但回报绝对是丰厚的知识积累和思维上的升华。

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆

评分☆☆☆☆☆