Fourier Transforms in the Complex Domain pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:American Mathematical Society

作者:Raymond E. A. C. Paley

出品人:

页数:183

译者:

出版时间:1934-12-31

价格:USD 51.00

装帧:Paperback

isbn号码:9780821810194

丛书系列:

图书标签:

• 傅里叶变换
• 复变函数
• 信号处理
• 数学分析
• 工程数学
• 通信工程
• 图像处理
• 电磁场理论
• 数值分析
• 高等数学

好的，这是一本名为《复变函数中的傅里叶变换》的书籍简介，内容将聚焦于复变函数理论的基础及其在工程、物理和数学中的应用，同时避免提及傅里叶变换本身的内容。 --- 书籍简介：复变函数中的数学解析与几何直观 书名：《复变函数中的数学解析与几何直观》 导言：跨越实数界的深刻洞察 本书旨在为读者提供一个全面而深入的复变函数（Complex Analysis）理论框架。在数学的发展历程中，将变量从实数扩展至复数领域，不仅是拓扑学和代数结构上的自然延伸，更是解决许多传统实分析难题的关键钥匙。本书将复变函数理论视为一座连接代数、几何、分析的桥梁，通过严谨的理论构建与丰富的几何直观相结合，揭示复变函数领域中那些令人着迷的结构与美感。我们摒弃了单纯的符号操作，致力于让读者理解复平面上函数行为的内在逻辑，以及这些概念如何深刻影响现代科学的诸多分支。 本书的内容结构旨在培养读者从宏观概念到微观细节的全面视野，从最基础的复数系统开始，逐步深入到解析函数的深层性质及其在特定问题中的应用。 第一部分：复数基础与几何构造 本部分奠定了整个复变函数理论的基石。我们首先详细阐述了复数的代数结构——加法、乘法、除法以及共轭运算。在此基础上，我们引入了复平面（Argand Diagram）的概念，它将抽象的复数转化为易于理解的二维几何实体。读者将学习如何利用极坐标形式来理解复数的乘法和除法，特别是复数的幂和根运算，这些操作在几何上表现为旋转和缩放，为后续的函数映射分析打下了直观基础。 我们还将详细探讨复数序列与级数的收敛性。与实数序列和级数类似，复数序列的收敛性要求其实部和虚部序列分别收敛。本部分强调了复数域中收敛概念的几何意义——极限点及其邻域的构建，这为理解函数的连续性和一致收敛性提供了必要的工具。 第二部分：解析函数的根基——柯西-黎曼方程 复变函数理论的核心魅力之一在于“解析性”（Analyticity）。一个函数能够在局部用收敛的幂级数表示的特性，赋予了它远超实函数的光滑性和约束性。本章将焦点集中在解析函数的判别条件上。 我们将详细推导著名的柯西-黎曼（Cauchy-Riemann）偏微分方程组。这个方程组是连接复函数 $f(z) = u(x, y) + i v(x, y)$ 的实部 $u$ 和虚部 $v$ 的关键。我们不仅会证明满足柯西-黎曼方程且一阶偏导数连续的函数必然是全纯的（即解析的），还会探讨其重要的几何意义：在局部，解析函数保持角度的保形性（Conformality）。通过对柯西-黎曼方程的深入分析，读者将领悟到为何复变函数在几何映射中表现出如此独特的性质。 此外，本部分还将介绍调和函数（Harmonic Functions）的概念。由于解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程，它们是调和函数。我们将探讨共轭调和函数（Harmonic Conjugates）的存在性及其构造方法，这在求解位势论问题中具有基础性的作用。 第三部分：积分的革命——柯西积分定理与公式 复变函数理论的强大力量集中体现在其积分性质上。在实分析中，黎曼积分的定义相对直观，但在复平面上，路径积分的引入带来了全新的可能性。本章将系统地介绍柯西积分理论的核心概念。 我们将首先定义沿任意光滑曲线的复线积分，并分析积分路径对结果的影响。随后，我们将阐述柯西-古萨蒂（Cauchy-Goursat）定理，该定理指出，在单连通区域内，解析函数的环路积分为零。这一看似简单的结论，却是整个复积分理论的基石。 在此基础上，我们将推导出柯西积分公式。这个公式是复分析中最具革命性的结果之一：它表明在一个简单闭合曲线上解析函数的值，完全由该曲线上函数本身的值唯一确定。我们将详细阐述如何利用该公式来计算某些特定积分，以及如何利用其高阶导数形式来证明解析函数的无穷可微性。 第四部分：级数展开与奇点分类 幂级数是解析函数的局部代表，而洛朗级数（Laurent Series）则是描述函数在孤立奇点附近行为的有力工具。本部分将专注于函数的局部展开技术。 我们将从泰勒级数开始，阐述其在解析区域内的唯一性和收敛半径。随后，我们将引入洛朗级数，它可以将函数在去心邻域内展开，从而揭示函数在奇点附近的结构。洛朗级数是理解函数分类的关键。我们将对孤立奇点进行精细的分类：可去奇点（Removable Singularities）、极点（Poles）和本质奇点（Essential Singularities）。每种奇点的数学特征及其几何表现将被细致剖析。 第五部分：留数定理及其在实积分中的应用 留数（Residue）的概念是复分析中计算工具的顶峰。它定义在孤立奇点处的洛朗级数中特定系数，并与环路积分直接相关联。本章将系统地介绍留数的计算方法，包括如何根据奇点的类型（如简单极点、重极点）快速求出留数。 随后，我们将详细论证留数定理。该定理提供了一种极其高效的方法来计算环绕特定奇点的环路积分的值，其结果仅依赖于被积函数在这些奇点处的留数之和。 本书的最后一个重点在于展示留数定理的强大应用——求解实变量积分。我们将展示如何构造适当的复平面闭合路径（如半圆轮廓或矩形轮廓），利用留数定理计算那些在实变量积分中难以处理的定积分，特别是涉及有理函数和三角函数的积分。通过这些实例，读者将深刻体会到复变函数理论作为高级积分工具的优越性。 --- 目标读者： 本书适合于数学系、物理系、电子工程和航空航天工程等领域的本科高年级学生和研究生，以及需要复习和深入理解复变函数理论的科研人员和工程师。本书要求读者具备扎实的微积分基础和线性代数知识。 本书特色： 1. 强调几何直观： 穿插大量复平面上的映射和变换的几何解释。 2. 推导严谨细致： 每一个关键定理的证明都力求清晰完整，不跳过关键步骤。 3. 应用导向： 理论的引入紧密结合其在分析求解中的实际价值。

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这本书的排版和装帧设计简直是一场视觉上的享受。我拿到书的时候就被它光滑的封面和精美的字体吸引住了。每一次翻阅，都能感受到纸张的质感，那种厚实而又细腻的感觉，让人沉浸其中。对于这样一本技术性较强的书籍来说，清晰的版式设计至关重要，而这本书在这方面做得非常出色。图表的绘制清晰直观，数学公式的排布错落有致，即便是初次接触复杂分析的读者，也能在视觉上感到舒适，这极大地减轻了阅读的压力。作者在章节过渡和重点标记上的处理也非常巧妙，使得阅读流程非常顺畅。我尤其欣赏作者在全书风格上保持的连贯性，从头到尾都给人一种专业而又不失优雅的感觉。这种对细节的关注，让阅读体验上升到了一个新的层次，甚至让我愿意花更多时间去品味书中的内容，而不仅仅是获取信息。

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这本书的逻辑结构构建得异常严谨，仿佛是一座精巧的数学迷宫，但每一步都有清晰的指示牌，引导读者走向最终的理解。它不像某些教材那样干巴巴地罗列定理和证明，而是通过层层递进的论述，构建起一个完整而富有洞察力的知识体系。作者似乎非常懂得如何引导初学者跨越“理解的鸿沟”。在介绍关键概念时，他们总能找到最恰当的比喻或最简洁的例子来锚定抽象的数学思想。我发现自己经常会因为一个巧妙的过渡句或一个精辟的总结而恍然大悟。这种精心策划的叙事节奏，使得原本枯燥的数学推导过程变得引人入胜。阅读过程中，我感觉自己不仅仅是在学习知识，更是在学习一种思考的框架，一种处理复杂问题的分析哲学。

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这本书的难度曲线设置得非常人性化，它采取了逐步加深难度的策略，确保了读者的持续进步感。一开始，基础概念的介绍非常扎实，为后续的复杂推导打下了坚实的地基。随着章节的深入，引入的新概念和技巧也随之增多，但每一次引入都伴随着充分的铺垫和必要的预热。我注意到作者非常注重知识点的“钩子”效应，总是在一个知识点讲完后，立刻引出下一个与之相关但更深层次的问题，从而自然而然地驱动读者向前探索。对于那些希望从基础巩固到精通的高阶学习者来说，这种设计简直是福音。它既没有因为追求易懂而牺牲深度，也没有因为追求深度而抛弃了对读者的友好度，找到了一个近乎完美的平衡点。

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作为一本深入探讨数学工具的书籍，其对概念的阐释深度和广度令人印象深刻。它不仅仅停留在“是什么”的层面，更深入挖掘了“为什么”和“如何应用”的本质。我特别喜欢作者在某些定理证明后加入的“几何直觉”部分，这有效地弥补了纯代数推导可能带来的抽象感。通过这些补充性的解读，那些原本晦涩难懂的数学结构仿佛在你面前“活”了起来，展示了它们在更高维度空间中的美感。此外，书中提供的应用案例分析虽然篇幅不长，但选取得极其精准，它们有力地证明了理论的实际价值，激发了我进一步探索相关应用领域的兴趣。这种理论与实践之间的平衡把握得恰到好处，使得这本书既能满足理论研究者的需求，也能服务于工程应用人员。

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这本书的语言风格非常独特，它在保持学术严谨性的同时，又流露出一种近乎诗意的数学表达。作者的措辞选择非常考究，避免了教科书常见的僵硬和公式化，使得阅读过程充满了智力上的愉悦。我能感受到作者对这个主题怀有深厚的热情，这种热情通过文字感染了读者。阅读起来，感觉就像是在听一位经验丰富的学者在进行一次高水平的、精心准备的讲座，而非面对一本冷冰冰的参考书。有时候，一些关键的论断会以一种非常简洁有力的方式呈现，简洁到令人拍案叫绝。这种文学性和数学性的完美融合，使得这本书在众多专业著作中脱颖而出，成为我愿意反复翻阅和珍藏的佳作。

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