具體描述
Tensor calculus is a generalization of vector calculus, and comes near of being a universal language in physics. Physical laws must be independent of any particular coordinate system used in describing them. This requirement leads to tensor calculus. The only prerequisites for reading this book are a familiarity with calculus (including vector calculus) and linear algebra, and some knowledge of differential equations.
《張量基礎：深入淺齣的數學工具》 本書旨在為讀者提供一個全麵且易於理解的張量理論入門。張量作為一種強大的數學工具，在物理學、工程學、計算機科學以及機器學習等諸多領域扮演著至關重要的角色。然而，其抽象的概念和復雜的數學錶達常常讓初學者望而卻步。本書的宗旨便是打破這一壁壘，用清晰的語言、直觀的類比以及精心設計的示例，帶領讀者一步步揭開張量的神秘麵紗。 核心概念的循序漸進 我們從最基礎的定義開始，循序漸進地構建讀者對張量的認知。首先，我們將從嚮量和標量的概念齣發，探討它們在張量框架下的推廣。嚮量，作為一維張量，其在物理空間中的方嚮和大小的屬性，將自然地引齣多維數組的概念。接著，我們將介紹二階張量，並用具體實例說明其在描述綫性變換、應力應變等現象時的應用。例如，我們可能會藉助圖像鏇轉或物體形變的例子，來形象地解釋二階張量如何捕捉這些幾何變換的本質。 書中對張量代數運算的講解也將力求詳盡。我們將詳細闡述張量的加法、減法、標量乘法等基本運算，並重點介紹張量的外積（或稱張量積）和內積。外積是構建高階張量的關鍵，它能夠將多個嚮量的屬性結閤起來，産生更豐富的數學描述。內積則在計算能量、相關性等方麵有著廣泛應用，我們將通過物理過程中的功的計算或統計學中的協方差分析來闡釋其意義。 張量與坐標係 本書的一大亮點在於深入探討張量與坐標係之間的關係。張量的一個重要特性是其在坐標變換下的不變性，即無論我們選擇怎樣的坐標係來描述物理現象，張量本身所代錶的內在屬性是不變的。我們將詳細介紹協變張量、逆變張量以及混閤張量，並解釋它們在坐標變換時遵循的規則。這對於理解物理定律的普適性至關重要。通過對坐標變換的詳細解析，讀者將能更深刻地理解張量作為一種獨立於坐標係的數學對象的本質。 應用場景的廣泛探索 為瞭讓理論學習更具實踐意義，本書將穿插大量來自不同領域的應用案例。在物理學方麵，我們將探討張量在電動力學、廣義相對論以及連續介質力學中的應用。例如，電場和磁場張量將幫助我們理解電磁波的傳播，黎曼麯率張量將揭示引力場的幾何本質，而應力張量和應變張量則能描述材料在受力作用下的形變行為。 在工程學領域，我們將展示張量在結構分析、材料科學以及流體力學中的應用。工程師們如何利用張量來分析復雜結構的應力分布，如何描述和預測新型材料的性能，以及如何模擬流體的運動，都將在書中得到詳細的介紹。 此外，本書還將觸及張量在計算機科學中的新興應用，特彆是在機器學習和深度學習領域。我們將在適當的時機介紹神經網絡中的權重矩陣、捲積核等如何被視為張量，以及反嚮傳播算法等核心概念如何依賴於張量運算。雖然本書並非專門講解機器學習算法，但它將為讀者提供理解這些復雜模型背後數學原理的堅實基礎。 數學嚴謹性與易讀性的平衡 在保持數學嚴謹性的同時，本書始終將讀者的理解放在首位。我們避免使用過於晦澀難懂的術語，而是傾嚮於用更直觀的語言進行解釋。當引入必要的數學公式時，我們會對其進行詳細的推導和說明，確保讀者能夠理解其來源和意義。圖示和錶格也將被廣泛用於輔助理解，幫助讀者將抽象的概念具象化。 本書結構設計 本書的章節安排遵循邏輯遞進的原則。從最基本的概念齣發，逐步深入到更復雜的理論和應用。每章末尾都會設有習題，供讀者鞏固所學知識。此外，我們還提供瞭一個附錄，其中包含瞭一些重要的數學背景知識，以及常用的張量符號錶，以便讀者隨時查閱。 誰適閤閱讀本書？ 本書適閤任何對張量理論感興趣的讀者，包括但不限於： 物理學專業學生： 需要深入理解經典力學、電磁學、相對論以及量子力學等領域中的張量概念。 工程學專業學生和從業人員： 希望在結構力學、材料科學、流體力學等領域應用張量進行分析和設計。 計算機科學專業的學生和研究人員： 特彆是那些對機器學習、深度學習、計算機視覺等領域感興趣，需要理解底層數學原理的讀者。 對數學和科學有濃厚興趣的自學者： 希望係統地學習張量理論，拓展知識視野的讀者。 我們相信，《張量基礎：深入淺齣的數學工具》將成為您探索張量世界的理想起點，為您打開通往更廣闊數學和科學天地的大門。
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