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出版者:Birkhäuser Boston

作者:Ram P. Kanwal

出品人:

页数:496

译者:

出版时间:2004-07-23

价格:USD 89.95

装帧:Paperback

isbn号码:9780817643430

丛书系列:

图书标签:

泛函分析
分布理论
广义函数
偏微分方程
数学分析
傅里叶分析
Schwartz空间
Sobolev空间
泛函
数学物理

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具体描述

This third edition of "Generalized Functions" expands the treatment of fundamental concepts and theoretical background material and delineates connections to a variety of applications in mathematical physics, elasticity, wave propagation, magnetohydrodynamics, linear systems, probability and statistics, optimal control problems in economics, and more. In applying the powerful tools of generalized functions to better serve the needs of physicists, engineers, and applied mathematicians, this work is quite distinct from other books on the subject.

Key new topics and important features:

* Examination of the Poisson Summation Formula and the concepts of differential forms and the delta distribution on wave fronts

* Enhanced presentation of the Schroedinger, KleinGordon, Helmholtz, heat and wave equations

* Exposition driven by additional examples and exercises

* Comprehensive bibliography and index

* Prerequisites: advanced calculus, ordinary and partial differential equations

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From the Reviewers:

"Kanwals book is a worthy member of this company [Gelfand and Shilov, Semanian, Friedman, Jones, and Barros-Neto]. Its strength lies in the application to classical physics.[it presents] a wealth of applications that cannot be found in any other single sourceKanwal has written a valuable book accessible to first-year graduate students in physics and engineering."

--Ivar Stakgold, Mathematics, University of Delaware

"The advantage of this text is in carefully gathered examples explaining how to use corresponding properties. Even the standard material connecting with partial and ordinary differential equations is rewritten in modern terminology."

--Zentralblatt

《广义函数》是一本深入探讨数学分析中一个重要分支——广义函数理论的著作。本书旨在为读者提供对广义函数概念的全面理解，以及它们在物理学、工程学以及纯数学等多个领域中的广泛应用。本书的开篇部分，我们将从经典函数论的基础概念出发，逐步引入数学分析中遇到的极限和积分的局限性。例如，狄拉克“函数”（delta function）在描述点源或冲击时出现的便利性，但其严格的数学定义却难以在传统函数空间中找到。正是为了解决这类问题，广义函数应运而生，它提供了一个更强大、更普适的框架来处理这些“病态”但又至关重要的数学对象。我们将详细介绍广义函数的定义，主要通过测试函数空间（通常是光滑函数空间）的对偶来构建。读者将学习如何构造一个线性有界泛函，使其成为一个广义函数。本书将重点介绍一些最基本和最常见的广义函数，如常数函数、单位阶跃函数、狄拉克函数及其各种导数。我们将深入分析它们的性质，包括它们的极限行为、求和以及与经典函数的联系。随后，本书将进入广义函数的微积分部分。读者将学习如何在广义函数空间中进行微分和积分运算。我们会揭示，在广义函数框架下，许多原本不可微的函数（如单位阶跃函数）现在可以拥有清晰定义的导数（即狄拉克函数）。我们将系统地推导和证明广义函数的微分规则，并展示这些规则如何与经典微积分的规则相一致。此外，我们还会探讨广义函数的积分，以及如何将其与测度的概念联系起来。本书的一大特色在于它对广义函数在不同变换下的行为的深入分析。傅里叶变换是其中一个重要的工具，我们将在广义函数空间中重新审视傅里叶变换的定义和性质。读者将看到，对于傅里叶变换来说，广义函数提供了一个比经典函数更广泛的适用范围，这使得许多在工程和物理中遇到的变换问题可以得到更严谨的解决。此外，拉普拉斯变换等其他积分变换也将得到讨论，并阐述它们在广义函数框架下的意义。为了更好地理解广义函数的性质，本书还将介绍序列收敛和拓扑结构在广义函数空间中的作用。我们将讨论在不同拓扑下（如缓增广义函数空间）广义函数的收敛概念，并证明这些拓扑赋予了广义函数空间良好的数学结构，例如完备性和可分性，这为进一步的理论发展奠定了基础。本书还将详细探讨一些重要的广义函数空间。除了最基础的缓增广义函数空间 $S'$，我们还将介绍支持集紧的广义函数空间 $D'$，以及其他一些在特定应用中更为常用的空间。对这些空间的细致分析，将帮助读者理解不同类型的广义函数所具有的独特性质。在应用层面，本书将花费大量篇幅展示广义函数在各个领域的强大作用。在偏微分方程领域，狄拉克函数及其导数在描述点源、线源或面源产生的势场时至关重要。许多著名的方程，如泊松方程和波动方程，在包含广义函数作为源项时，其解的理论得到了极大的丰富和深化。我们将通过具体的例子，如静电学中的点电荷模型，来说明广义函数如何简化和统一问题的描述。在信号处理和通信领域，广义函数被用来表示冲击信号、采样函数等。例如，理想采样函数（sinc函数）在数学上的处理常常需要借助狄拉克函数。本书将展示如何利用广义函数的概念，更清晰地理解信号的采样、重构等过程。在量子力学中，广义函数是描述粒子态、算符以及它们在物理空间中的分布的自然语言。诸如位置算符的本征函数（即狄拉克函数）以及动量算符的本征函数等，都是广义函数的典型应用。本书将通过一些量子力学中的基本概念，如波函数、算符的期望值等，来展示广义函数在这个领域不可或缺的作用。此外，本书还将触及分布理论的更广泛背景，并简要介绍一些与广义函数相关的更高级的主题，例如Sobolev空间以及它们与广义函数的关系。尽管这些内容可能超出了纯粹的广义函数理论，但它们为读者提供了进一步探索更深入数学概念的起点。本书的写作风格力求严谨、清晰，同时兼顾数学的直观性和应用的实用性。通过大量的例题和练习，读者可以巩固所学知识，并逐渐掌握运用广义函数解决实际问题的能力。我们相信，《广义函数》将成为一本优秀的参考书和学习材料，无论您是数学专业的学生、研究人员，还是从事相关应用领域的工程师或科学家，都能从中受益匪浅。