高中-全国数学邀请赛试题.培训题.解答 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:默认

作者:周国镇

出品人:

页数:184

译者:

出版时间:2007-1

价格:11.00元

装帧:

isbn号码:9787502943455

丛书系列:

图书标签:

• 数学竞赛
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备考冲刺：构建你的数学思维殿堂 书名： 攻克竞赛：高中数学思维的深度拓展与应用 作者群： 知名数学教育专家与一线竞赛教练团队 目标读者： 计划参加全国高中数学联赛、希望在数学学习上实现突破的高中生；有志于培养学生数学竞赛能力的教师；以及所有对高中数学高阶思维感兴趣的自学者。 --- 内容概要： 本教材旨在为所有渴望在高中数学领域，尤其是在面对高难度选拔性考试时，构建坚实理论基础与卓越解题能力的学习者提供一套系统、深入且极具实战价值的资源。本书并非对特定已出版教材的重复或替代，而是聚焦于构建数学思维的底层逻辑、深化核心概念的理解，并提供超越常规教学进度的思维训练框架。我们摒弃了对基础知识的冗余讲解，直接切入竞赛级别的挑战性内容，强调思维的精妙与技巧的内化。 全书共分为四个核心模块，辅以大量的精选例题与变式训练，力求将抽象的数学原理转化为直观的解题策略。 第一部分：代数思维的拓扑重构（Algebraic Topology of Thought） 本部分将高中代数从初级的运算层面提升至更抽象的结构化思考层面。我们不满足于简单的因式分解或公式套用，而是深入探讨代数结构背后的美学与规律。 1. 根式与有理化的高阶运用： 探讨丢番图方程的初步思想在代数中的渗透，如何通过根式的巧妙构造来简化复杂表达式。重点剖析有理化技巧在处理极端值和构造数列中的非凡作用。引入代数几何的初步概念，理解如何通过坐标变换来简化代数问题。 2. 多项式理论的深度挖掘： 深入研究韦达定理（Vieta's Formulas）在多元方程组中的推广与应用。着重讲解对称多项式理论，如何利用基本对称多项式来表达任意多项式，以及在求解高次方程根的性质时的强大威力。此外，还涵盖了多项式在数论问题中的转化，例如利用多项式函数的性质来确定整数解的存在性。 3. 不等式理论的系统化构建： 不等式是高中数学的难点与重点。本书不局限于常见的均值不等式，而是构建一个“不等式工具箱”。细致讲解： 柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz Inequality） 的多种形式（向量形式、积分形式的预备知识）及其在几何与代数中的应用。 Jensen不等式 在凸函数与凹函数分析中的精确使用。 排序不等式（Rearrangement Inequality） 在极值问题中的定位。 针对复杂函数构造的“一改二证三放缩”解题范式。 第二部分：几何直觉与解析的辩证统一（Dialectics of Geometry and Analysis） 几何部分强调从直觉观察到严谨证明的过渡，并深入探讨解析几何如何作为一把“万能钥匙”来解决纯粹的几何问题。 1. 欧氏几何的精炼与拓展： 聚焦于圆锥曲线的内在联系。不再将椭圆、抛物线、双曲线视为孤立的知识点，而是从“焦点、准线、离心率”这三个核心参数的统一视角进行解析。讲解如何通过共轭直径、斜率中线等高级概念来简化涉及切线、法线的问题。此外，对仿射变换在处理平行性与比值不变性上的应用进行了初步介绍。 2. 解析几何的“无缝对接”： 深入讲解直线与圆锥曲线的交点问题中，如何运用韦达定理结合判别式来分析交点个数、中点弦问题等。重点攻克“定点、定值、定线”三大类解析几何的标志性难题，强调“点差法”和“参数法”在化繁为简中的极致表现。 3. 向量代数与空间想象力的结合： 侧重于空间向量的运算在立体几何中的应用。不仅限于求线面角和距离，更强调利用混合积（标量三重积） 来快速求解四面体的体积，以及利用向量的模长来简化距离计算，培养对三维空间的精准把握能力。 第三部分：数论的趣味与严谨并存（Number Theory: Elegance and Rigor） 数论是体现数学思维灵活性的重要领域。本书侧重于竞赛中常出现的、结合了代数与组合思想的数论问题。 1. 基础数论的深化： 系统梳理同余理论，并将其应用于求解中国剩余定理（CRT）的推广形式。重点讲解欧拉定理和费马小定理的实际应用场景，尤其是如何利用它们来处理大数模幂运算。 2. 丢番图方程的初探： 介绍勾股数的通解公式的推导，以及对佩尔方程（Pell's Equation） 基本解法的介绍。强调使用模运算作为筛选工具来排除不存在的整数解。 3. 整除性与奇偶性的逻辑链： 训练读者利用反证法和构造法在数论问题中的应用。例如，如何通过构造函数或特定数系来证明某个数列不存在完全平方数或立方数。 第四部分：函数与极值点的分析艺术（The Art of Function Analysis） 本部分将函数视为解决一切变化和约束问题的核心工具，尤其强调导数在非标准问题中的创造性使用。 1. 函数性质的深度剖析： 不仅停留在单调性、奇偶性，而是深入探讨周期性、周期延拓、周期渗透的概念。讲解如何利用函数的叠加（如 $f(x)+f(1-x)=C$）来简化方程。 2. 导数的超越应用： 导数是分析函数极值的核心。本书着重训练如何利用导数来证明或反驳复杂不等式的存在性。例如，如何利用导数的导数（二阶导数）来分析函数图像的凹凸性，从而确定极值点的性质。对于超越函数（如指数、对数、三角函数的复合），详细演示如何通过“零点存在性定理”和“罗尔定理”的推广应用来定位零点区间。 3. 极值点的寻找与检验： 强调对复杂函数（特别是分段函数和绝对值函数）求极值时，必须将边界点、断点和导数为零的点进行全面、系统地比较，确保找到的极值是全局极值而非局部极值。 --- 学习特色与价值定位： 本书的撰写遵循“少即是多，精即是强”的原则。我们相信，对于已掌握基础知识的学习者而言，真正需要的不是题海战术，而是解决问题的思维范式（Mindset）。本书的价值在于： 1. 思维导向性强： 每一章的例题都精心设计，旨在展示某一种核心思维的迁移和应用，而非单纯的解题技巧罗列。 2. 难度阶梯设计： 习题难度由浅入深，从基础概念的重新验证，到复杂定理的综合运用，再到典型的竞赛压轴题的分析拆解。 3. 解题报告： 部分经典例题附有“思维路径拆解报告”，详细剖析了从审题到得出结论过程中，可能出现的思维误区、思考方向的岔路口，以及如何“回溯”和“修正”思路的过程。 本书将成为你攻克数学高阶挑战，迈入数学殿堂的得力助手。

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