数学练习册(基础版)(修订版)第二分册 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787040198386

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《代数几何基础：探索与应用》 作者： 孙景明，李明哲 出版社： 华夏教育出版社 出版日期： 2023年10月 ISBN： 978-7-5232-0888-5 定价： 89.00元 --- 内容简介： 《代数几何基础：探索与应用》是一本面向高等院校数学、物理、计算机科学及相关工程领域本科高年级学生和研究生的教材与参考书。本书旨在系统、深入地介绍代数几何学的基本概念、核心理论和主要研究方法，并结合具体的应用实例，展现代数几何在现代科学研究中的强大生命力。 本书结构严谨，逻辑清晰，内容涵盖了从经典代数几何向现代代数几何过渡的关键知识点。全书共分十二章，循序渐进地引导读者建立扎实的理论基础，并逐步接触到更前沿的研究方向。 第一部分：代数与几何的初步交融 (第1章 - 第3章) 第1章：域、环与多项式代数 本章回顾了域和环的基本性质，重点阐述了多项式环的结构，特别是唯一因子分解整环（UFD）和诺特环（Noetherian Ring）的概念。详细讨论了多项式的零点、因式分解及其在代数曲线上体现的几何意义。引入了理想（Ideal）的概念，并解释了多项式环中理想与代数集合之间通过零点集（Variety）建立的初始联系。 第2章：初等代数集与坐标环 本章正式引入仿射空间 $mathbb{A}^n$ 的概念，并定义了仿射代数集（Affine Algebraic Set）。核心内容是坐标环（Coordinate Ring）的构建及其性质。通过研究坐标环的结构（如整环性、约化性），读者可以深入理解代数集自身的几何特征。讲解了主理想与曲线的简单性之间的关系，并探讨了维度的初步概念。 第3章：希尔伯特零点定理与簇 本章是连接代数与几何的桥梁。全面、严谨地阐述了强希尔伯特零点定理和弱希尔伯特零点定理，这是经典代数几何的基石。基于零点定理，本书导出了阿芬代数几何（Affine Algebraic Geometry）的完整框架，并首次引入了仿射簇（Affine Variety）的严格定义。本章详细分析了环的性质如何直接反映在相应簇的几何性质上。 第二部分：概形论的奠基 (第4章 - 第7章) 第4章：局部化与素理想谱 为过渡到更抽象的概形理论，本章详细介绍了环的局部化（Localization）技术。重点讨论了局部环的性质及其在描述代数对象“局部行为”中的作用。随后，系统介绍了素理想谱 $ ext{Spec}(R)$ 的构造，并阐述了它如何作为“拓扑空间”来承载代数信息。素理想谱是概形理论的起点，本章对此给予了充分的几何直觉解释。 第5章：预层与概形 本章是本书的理论核心之一。在 $ ext{Spec}(R)$ 这一拓扑空间上，定义了结构预层（Structural Sheaf） $mathcal{O}$，并基于预层上的“限制”与“截面”操作，给出了概形（Scheme）的严格定义。本章通过实例对比了代数集与概形的区别，强调了概形理论在处理“非简化点”和“无穷远点”时的优势。 第6章：结构层与函数 深入探讨结构层 $mathcal{O}_X$ 的性质，特别是其截面环 $Gamma(X, mathcal{O}_X)$ 与环 $R$ 之间的关系。引入了结构同态的概念，以及如何定义概形之间的态射（Morphisms of Schemes）。通过态射，读者可以理解代数对象之间如何进行“连续”的映射，这对应于几何学中的形变和连续变化。 第7章：射影空间与簇 (Projective Varieties) 本章将理论扩展到射影空间 $mathbb{P}^n$，这是研究完备几何空间（如曲线、曲面）不可或缺的工具。介绍了齐次坐标系、齐次理想和齐次环的概念。定义了射影簇，并解释了它与仿射簇在“无穷远点”上的区别与联系。着重讲解了如何使用齐次坐标环来研究射影簇的几何性质。 第三部分：几何结构的深入分析 (第8章 - 第10章) 第8章：维度理论 本章系统地讨论了概形的维度。从Krull维度（Kruil Dimension）出发，将其与代数集中的“曲线最高次数”和“相交点的个数”等几何直觉联系起来。详细阐述了升链条件与维度的关系，并引入了正则局部环（Regular Local Ring）的概念，展示了正则性（光滑性）在局部维度上的重要体现。 第9章：光滑性与奇点 本章专注于代数几何中的核心问题——光滑性（Smoothness）。通过局部上精确度量“微分的自由度”，给出了光滑点的代数定义（基于局部环的正则性）。随后，详细分析了奇点（Singularities）的产生原因（如多重根、自交点），并使用雅可比矩阵的方法，对经典曲线的奇点进行了分类和计算。 第10章：相干层与向量丛 本章将视角从环论提升到层论。定义了相干层（Coherent Sheaves），它们是研究几何对象上“函数束”或“张量场”的代数工具。在光滑射影簇的背景下，探讨了相干层与向量丛（Vector Bundles）之间的深刻联系。本章为高等微分几何和拓扑学的交叉研究奠定了必要的代数基础。 第四部分：高级主题与应用 (第11章 - 第12章) 第11章：代数曲线的分类 本章以具体的二维对象——代数曲线为例，展示了前述理论的应用成果。重点讨论了亏格（Genus）的概念，包括其算术亏格和几何亏格。通过使用黎曼-罗赫定理（Riemann-Roch Theorem）的初步形式，读者将能够计算特定曲线上线性系列的维数，这是代数几何早期研究的经典范例。 第12章：模空间简介与现代展望 本章作为引言，简要介绍了模空间（Moduli Space）的概念，即“代数对象的空间”。通过模空间的概念，展示了代数几何如何将具有特定性质的一族几何对象（如曲线、向量丛）进行整体化的研究。最后，对代数几何在密码学（椭圆曲线）、弦理论和量子场论中的最新应用进行了概述，激发读者的进一步研究兴趣。 --- 本书特色： 1. 理论与直觉并重： 在严格定义的同时，本书对每一个抽象概念都配有丰富的几何直觉解释和经典案例，帮助读者克服从代数到几何的思维障碍。 2. 现代框架下的经典再现： 使用概形论这一现代工具，重新审视和阐述了经典代数几何中的核心结论（如零点定理、亏格计算），使读者领略理论的统一性。 3. 适中的难度跨度： 既能满足需要扎实基础的本科高年级学生，也能为研究生提供深入研究的有效参考，避免了直接陷入高度专业化的文献泥潭。 4. 丰富的习题设计： 每章末尾均附有不同难度的练习题，包括计算题、证明题和概念辨析题，以巩固和深化对所学知识的掌握。 适用对象： 数学、理论物理、应用数学、计算数学专业高年级本科生及研究生。 推荐先修课程： 抽象代数（群、环、域）、点集拓扑。

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说实话，我一开始对“基础版”这个定位有点不屑一顾，总觉得这种是不是太简单了，对我这种想冲刺高分的学生没多大用。结果我错了，它在“基础”这个层面上挖掘得比很多“进阶”的资料还要深。它把很多初学者容易混淆的概念，比如对负数的理解、分数的运算优先级等等，用近乎“白话”的语言重新阐述了一遍。我意识到，很多时候我们做错题，不是因为我们不够聪明，而是因为我们对最基本的定义理解得不够扎实。这本书就像是给地基做了一次彻底的加固工程，它用一种非常务实、不花哨的方式，把数学这座大厦最底层的那几块砖块垒得结结实实。对于那些因为初中数学基础薄弱，导致高中学习步履维艰的同学来说，这本书简直就是“雪中送炭”。它让你重新拾起了对数学的信心，让你明白，学会数学并不需要什么特殊的天赋，需要的是正确的引导和持之以恒的练习。

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这本书的结构安排，体现了一种非常成熟的教学理念。它不是简单地堆砌知识点，而是巧妙地设置了“知识点回顾——典型例题解析——强化练习——错题反思区”这样一个闭环学习流程。特别值得称赞的是那个“错题反思区”，它不是让你重写一遍错题，而是引导你回答“我为什么会错？”“我错在哪里？”“正确的思路是什么？”这种带有反思性的提问，强迫我们去诊断自己的思维误区，而不是仅仅停留在“我会做这道题”的表层认知上。这种注重学习过程管理和自我纠错的学习方法，比单纯做对一百道题要有效得多。我用这本书的学习方法，慢慢建立起了一套自己的错题整理体系，这套体系至今还在影响着我的其他科目的学习。这本书不只是一本数学书，它更像是一本关于如何高效学习数学方法的“方法论指南”。

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这本书的配套练习质量实在是令人印象深刻。很多教辅书为了凑页数，会放一些特别水或者跟考点完全不沾边的填充题，但这个练习册在这方面做得非常克制和精准。每一章的练习题都紧密围绕着该章节的核心知识点展开，难度梯度设置得简直是教科书级别的教科书。刚开始是一些基础巩固型的题目，让你迅速建立信心和熟悉概念；然后过渡到综合应用题，开始考察你对知识点的融会贯通能力；最后压轴的几道题，往往能触及到中等难度考试的边界，非常适合用来查漏补缺。我最欣赏的是，它没有把答案直接印在后面，而是提供了一个详细的“解题思路提示”区域。这迫使我们在遇到难题时，不能直接抄答案，而是要先思考书中提供的“切入点”，自己尝试构建解题路径。这种培养独立思考能力的训练方式，对于长期学习数学绝对是受益无穷的。

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这本书的装帧和印刷质量，对于一本经常被翻阅的书来说，真的是一个巨大的加分项。要知道，我那本在书包里被挤压、被咖啡溅到过好几次，但它的纸张厚度适中，墨迹清晰，即使用铅笔写了大量的演算过程，也不会出现透墨的情况，这对于我反复擦改、重新计算的习惯来说太重要了。而且，书本的装订非常牢固，即便是经常需要对折着放在桌角来对照解析，它也没有出现散页或者脱胶的现象。这种细节上的用心，体现了出版方对读者的尊重。一本让人爱不释手的工具书，首先它得能“抗用”。光是这一点，就已经超越了很多华而不实、摸起来好看但一用就露馅的教辅材料。它陪伴我度过了无数个挑灯夜战的夜晚，能承受住我学习的热情和粗暴，真是个可靠的伙伴。

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天呐，我最近在整理旧书架的时候翻出了这本，真的是勾起了我好多回忆。记得那时候为了准备期末考试，我几乎把这本书啃得稀烂。这本书的版式设计真的挺人性化的，不是那种密密麻麻让人望而生畏的排版，即便是像我这种数学底子比较薄弱的学生，看着也不会觉得太有压力。尤其是那些例题的解析部分，步骤拆分得非常细致，很多绕弯子的题目，通过这本书的讲解，一下子就变得清晰明了。我记得有一次，我对一个特定的几何概念怎么也理解不透，但书上用图示和文字结合的方式，硬生生地把那个抽象的概念给“拽”到了我眼前。虽然有些地方的难度系数在当时看来有点偏高，但正是这种适度的挑战，逼着我跳出了舒适区，真正去思考数学的逻辑。它不是那种只教你怎么套公式的“死板”教材，更像是一个循循善诱的私人教练，在你需要帮助的时候，给你最关键的一击。这本书陪伴我的那段时间，感觉自己的数学思维都有了一个质的飞跃，那种通过努力终于攻克一个难题后的成就感，真是太棒了。

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