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出版者:东华大学出版社

作者:李绍宽

出品人:

页数:376

译者:

出版时间:2007-8

价格:25.00元

装帧:

isbn号码:9787811111477

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好的，这是一本名为《微积分的艺术与应用》的图书简介： --- 《微积分的艺术与应用》 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入、直观且富有启发性的微积分学习体验。我们摒弃了传统教材中常见的、过度依赖形式化证明的枯燥叙述方式，转而将重点放在微积分概念的几何直觉、物理意义以及在现代科学、工程和经济学中的实际应用上。我们的目标是让读者不仅“知道”微积分的公式如何运作，更能“理解”其背后的深层逻辑与美感。 第一部分：极限、连续性与导数的直觉构建 本书的开篇着重于为微积分奠定坚实的直觉基础。我们从对“无限小”和“无限大”的哲学探讨入手，引入极限的概念，并用大量的视觉化案例来解释 $epsilon-delta$ 语言的严谨性是如何服务于这种直觉的。 极限的几何解读： 我们通过曲线上切线的逼近过程，展示导数如何自然而然地产生。不再仅仅将导数视为一个公式，而是将其描绘成瞬时变化率的精确度量，是“变化之箭”在特定瞬间的方向和大小。 连续性的意义： 连续性被深入探讨，不仅是作为函数性质的定义，更是物理世界中过程平滑过渡的数学模型。我们探讨了介值定理和极值定理在实际问题（如最短路径、最大承重）中的应用，强调它们作为保证解存在的关键工具的地位。 导数的应用入门： 在本部分，我们将导数应用于速度、加速度的计算，并引入了优化问题的初步概念。我们清晰地展示了如何通过分析函数的增减性来寻找极值点，为后续的复杂优化打下基础。 第二部分：积分——累积、面积与反向操作 本部分将积分的概念从单纯的“求面积”拓展到“累积效应”的数学表达。我们深入剖析了黎曼和的构建过程，强调积分作为一种对不规则积累过程的精确求和方法。 黎曼和的精细化： 通过一系列动态的图形演示，读者将能直观地看到当矩形宽度趋于零时，黎曼和如何精确地逼近曲线下的面积。这不仅仅是计算技巧，更是对“整体如何由无数微小部分构成”这一思想的数学体现。 微积分基本定理： 这是全书的里程碑。我们不只是陈述定理，而是通过导数和积分之间的“互逆”关系，揭示了牛顿和莱布尼茨的伟大洞察——求导和求积分是两种相互关联的操作。这一理解对于后续的定积分计算和微分方程的建立至关重要。 应用领域： 积分的应用被扩展到物理学中的功的计算、质心和转动惯量的确定。我们还引入了物理学中的流体静力学压力计算，展示积分如何处理均匀分布的力。 第三部分：超越一维——多变量微积分的拓展 随着对单变量微积分的深入理解，我们自然地过渡到三维空间及更高维度的微积分，即偏导数、多重积分和向量场。 偏导数与梯度： 偏导数被解释为在特定方向上函数变化率的测量。梯度向量则被视为指示函数增长最快方向的“指南针”。我们用地形图来阐释梯度和等高线的关系，这对理解机器学习中的优化算法至关重要。 多重积分与体积/质量： 二重积分和三重积分被构建为对二维和三维区域进行“累加”的工具。我们详细讲解了在不同坐标系（柱坐标、球坐标）下如何巧妙地转换积分区域，以简化复杂的体积和质量计算。 线积分与功： 向量场理论是本部分的高潮之一。我们用电场或流体流动的例子，直观地解释了线积分如何计算穿过特定路径的“净累积量”。格林公式、斯托克斯公式和散度定理的介绍，则着重于揭示了微积分在不同维度和形式之间的深刻联系与转换的艺术。 第四部分：序列、级数与函数的逼近 微积分的终极应用之一在于处理无限过程，即将复杂函数表示为无穷级数，这在工程计算和理论物理中具有不可替代的地位。 序列与收敛性： 我们严格区分了序列的极限和级数的和，并使用比值检验、根值检验等工具来判断无穷和的有限性。 泰勒级数： 这是全书中最具实用价值的部分之一。我们不只是展示泰勒多项式，而是将其定位为“用最简单的多项式去逼近最复杂的函数”的强大工具。我们将介绍如何利用泰勒级数来计算 $sin(x)$ 在 $x=0$ 附近的精确值，以及如何分析近似误差。 傅里叶级数简介（选读）： 简要介绍傅里叶级数作为将周期性信号分解为正弦和余弦波的工具，展示微积分如何连接到信号处理和波动分析领域。 本书特色 1. 几何优先，代数跟随： 每引入一个新概念，都首先通过几何或物理模型进行直观阐释。 2. 丰富的案例研究： 涵盖了工程中的梁的挠度、经济学中的边际成本分析、统计学中的概率密度函数积分等多个领域。 3. “为什么如此”的深度探究： 鼓励读者质疑公式背后的逻辑，而不是盲目记忆。 4. 严谨性与可读性的平衡： 在保持数学严谨性的同时，力求语言生动流畅，避免晦涩的术语堆砌。 适合读者 本书非常适合初次接触微积分的大学生（理工科、经济学、计算机科学专业），以及希望重新巩固或从更直观角度理解微积分原理的在职工程师和研究人员。它不仅是一本教材，更是一部引导读者领略数学之美的探索之旅。

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这本书的装帧设计倒是挺别致，拿到手里沉甸甸的，封面的设计简约而不失大气，那种深邃的蓝色调，配上烫金的字体，透着一股子知识的厚重感。光是看着封面，就能感受到它在内容上肯定下了不少功夫，不像那些花里胡哨的辅导书，更像是一本值得收藏的经典。我本来对高等数学这种枯燥的学科有点畏惧，但这本书的排版非常清晰，章节之间的逻辑过渡也显得相当自然流畅。初翻几页，那些复杂的公式和定理被安排得井井有条，图示和例题的配比拿捏得恰到好处，不像有些教材恨不得把所有信息都塞进一个版面，让人一眼就望而生畏。这种精心布局的视觉体验，确实能大大降低学习初期的心理门槛，让人愿意静下心来去啃那些硬骨头。可以说，光是就书籍的制作工艺和初步的阅读感受而言，它已经成功地建立起了一种专业而又亲切的氛围，让人对后续的学习内容充满了期待，希望能在这本书里找到理解那些抽象概念的钥匙。

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我花了整整一个下午的时间，试图去理解书中关于“极限”部分的论述，坦白说，那种感觉就像是在迷雾中摸索，但这本书的处理方式相当独到。它没有直接抛出那个冰冷的$epsilon-delta$定义，而是先用了一大段极具画面感的语言来描述“无限接近”这个概念的哲学意蕴，甚至引用了古代哲学家对“无限”的探讨，这种跨学科的引入方式，一下子把原本干巴巴的数学理论拉到了一个更宏大、更具思辨性的层面。接着，作者才开始用非常细致的笔触，一步步拆解那个复杂的符号系统，每一个符号的引入都有其明确的逻辑前置，就像是侦探小说一样，层层剥茧，让你不得不跟着作者的思路走。特别是作者在论证过程中穿插的一些历史小故事，比如某个伟大数学家发现某个定理时的心路历程，让整个学习过程变得立体而人性化，不再是冷冰冰的公式堆砌，而是充满了人类智慧的光辉与挣扎，这种讲述方式，极大地提升了阅读的参与感和代入感。

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阅读体验上，这本书的“脚注”和“旁白”部分简直是点睛之笔，几乎占据了页面三分之一的篇幅，但完全没有造成阅读的干扰，反而像是随行的一位经验丰富的老教授在你耳边轻声细语地进行私密讲解。这些补充信息往往不是考试重点，而是关于定理背后的深刻见解、不同流派对同一概念的不同解读，甚至是作者个人对某些数学美学的感悟。比如，当讲到微积分基本定理时，书中特意用一个完整的段落对比了牛顿和莱布尼茨的思路差异，并探讨了“微分”与“积分”作为互逆运算的深刻联系，这远超出了教科书对“掌握定理”的基本要求。这种润物细无声的引导，让读者在掌握“如何计算”的同时，也开始思考“为什么是这样”，极大地拓宽了数学的视野，培养了一种更高层次的数学直觉和审美情趣。

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我特别留意了这本书的“应用案例”章节，它完全颠覆了我对高等数学仅限于抽象推导的刻板印象。作者没有选择那些过于专业化、需要深厚物理或工程背景才能理解的案例，而是巧妙地选取了金融定价中的Black-Scholes模型简化版、生物种群增长的Logistic模型，甚至是社交网络中信息传播的速率分析。这些案例的引入，不仅证明了那些看似脱离现实的偏导数和级数展开在现实世界中的巨大价值，而且其讲解的深度也拿捏得非常到位——足够让你理解其核心思想和数学建模的思路，但又不会因为过多的专业术语而让非专业读者望而却步。通过这些鲜活的例子，我真切地感受到，高等数学并非象牙塔里的空中楼阁，而是驱动现代科技和社会运行的底层逻辑引擎，这种实用性的彰显，极大地激发了我对这门学科持续深入学习的内在动力。

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这本书在习题设置上的用心程度，绝对是我目前接触过的所有数学书籍中最值得称赞的。它明显不是那种“题海战术”的产物，而是经过了深思熟虑的阶梯式训练系统。每一章的习题都被精心划分成了三个层次：基础巩固、深度理解和思维拓展。基础部分，题目数量适中，主要用于检验基本概念是否扎实掌握；而最吸引我的是“思维拓展”部分。这些题目往往不是直接套用公式就能解决的，它们更像是开放性的挑战，需要你综合运用前几章甚至跨章节的知识点进行整合、创新，甚至有点像是在设计一个新的证明路径。我记得有一道关于多变量函数最优化的题目，题目描述非常生活化，但求解过程却异常复杂，引导我重新审视了梯度的几何意义，这让我体会到数学工具在解决实际问题时的强大威力，也真正明白了“学以致用”的含义，而非仅仅是为了应付考试。

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