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出版者:学苑出版社

作者:陈常洪

出品人:

页数:140 页

译者:

出版时间:2006年12月1日

价格:13.90元

装帧:平装

isbn号码:9787507725469

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高中数学选修系列：解析几何的深度探索与应用 图书名称：《高中数学选修4-2：圆锥曲线与方程》 图书简介 本书是为高中阶段有志于深入学习数学，特别是对解析几何领域抱有浓厚兴趣的学生精心编写的选修教材。它立足于必修课程中对直线、圆等基础几何图形的代数表示能力的巩固与提升，将焦点完全聚焦于数学美学与实用性完美融合的圆锥曲线家族——椭圆、双曲线和抛物线。本书旨在引导学生超越对基本概念的机械记忆，实现对这些曲线深层几何性质的理解，并熟练掌握其在坐标系中的代数表示、方程推导及其在解决复杂问题中的应用。 第一章：圆锥曲线的形成与基础概念 本章作为导论，将严谨地追溯圆锥曲线的几何起源。我们将通过一个完整的圆锥面与不同倾斜平面的截切过程，直观地展示椭圆、双曲线、抛物线以及特例（圆、直线、点）是如何自然而然地产生的。 1.1 几何的视角： 详细阐述圆锥截线的生成原理，引入圆锥曲线的共性与差异。 1.2 核心要素的定义： 严格定义椭圆、双曲线和抛物线的焦点、准线、离心率等关键概念。离心率$e$如何作为区分三大曲线的本质属性，在本章得到详尽的数学阐述。 1.3 标准方程的推导： 侧重于基于定义（如焦点和准线的距离比）的代数推导过程。我们将展示如何利用距离公式，系统地推导出三种曲线的标准方程形式，并探讨坐标系选择对简化的重要性。 第二章：椭圆——和谐与边界 椭圆是自然界中普遍存在的一种曲线（如行星轨道）。本章将深入剖析椭圆的特性。 2.1 椭圆的标准方程与几何性质： 重点分析在$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$（$a>b>0$）形式下，长轴、短轴、焦点坐标、焦距、顶点及共轭点的几何意义。 2.2 离心率与形状的关系： 探讨离心率$e = frac{c}{a}$的变化范围（$0 < e < 1$）如何影响椭圆的扁平程度，并建立$a, b, c$之间的基本关系式$a^2 = b^2 + c^2$。 2.3 椭圆上的点与参数方程： 引入参数$ heta$来表示椭圆上任意一点的坐标$(acos heta, bsin heta)$，并初步应用参数方程解决一些涉及面积或定点连线的问题。 2.4 焦点弦与通径： 深入研究过焦点的弦的性质，特别是通径（垂直于长轴且过焦点的弦）的长度计算及其在几何证明中的应用。 第三章：双曲线——分离与渐进 双曲线以其独特的双支结构和渐近线的概念，代表了代数方程与无限性思考的结合。 3.1 双曲线的标准方程与几何性质： 详细研究两种标准形式：横向（$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$）和纵向（$frac{y^2}{b^2} - frac{x^2}{a^2} = 1$）。区分实轴、虚轴、顶点和焦点的位置。 3.2 渐近线理论： 双曲线的核心特征之一。严格推导渐近线方程$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 0$，并解释其在描述双曲线无限延伸趋势上的重要性。讨论离心率$e = frac{c}{a}$的变化范围（$e > 1$）与渐近线斜率的关系。 3.3 等轴双曲线： 特殊情况$a=b$时，方程简化为$x^2 - y^2 = a^2$（或$xy = k$的旋转形式），重点讨论其与坐标轴的对称性。 3.4 焦点弦与等轴双曲线的性质应用。 第四章：抛物线——聚焦与反射 抛物线在物理学和工程学中具有不可替代的应用（如卫星天线、探照灯）。本章将聚焦于其独特的聚焦特性。 4.1 抛物线的定义与标准方程： 基于焦点到准线的等距定义，推导四种基本形式的标准方程（开口向上、下、左、右）。 4.2 抛物线的关键元素： 顶点、焦点、准线的位置关系，以及焦准距$p$在方程中的体现。 4.3 焦半径性质： 探讨抛物线上任意一点到焦点的距离（焦半径）与到准线的距离相等这一核心性质，这是解决与抛物线相关运动学问题的关键。 4.4 焦点弦与反射定律的几何阐释： 基于抛物线方程，直观理解平行于对称轴的光线汇聚于焦点的物理现象的数学证明。 第五章：直线与圆锥曲线的位置关系（联立方程组的深化） 本章将综合前述知识，探讨直线与圆锥曲线的交点问题，这是解析几何计算的核心挑战。 5.1 弦长公式与中点弦定理的推广： 不再局限于圆，将斜率法、韦达定理的运用扩展到处理椭圆、双曲线和抛物线上任意弦的问题。 5.2 判别式在圆锥曲线中的应用： 重新审视直线与二次曲线相交（相切、相交于两点、相离）的条件，通过判别式$D$的符号来确定交点情况。 5.3 几何条件的代数转化： 重点训练如何将“弦的中点坐标”、“弦长”、“弦的倾斜角”等几何语言，转化为关于直线斜率$k$和截距$m$或中点坐标$(x_0, y_0)$的代数方程。 5.4 切线方程的推导与应用： 严格推导圆锥曲线在曲线上一点$(x_1, y_1)$处的切线方程，以及在曲外一点引切线的策略。 第六章：坐标系的变换与综合应用（选讲） 为应对更复杂的几何结构，本章引入坐标系的旋转概念，为进入大学数学学习打下基础。 6.1 二次曲线的一般方程与几何意义： 初步认识包含$xy$项的二次方程，理解其代表的旋转后的圆锥曲线。 6.2 坐标旋转公式的引入： 学习如何通过旋转角度$ heta$来消除一般方程中的一次交叉项$Bxy$，从而恢复到标准形式。 6.3 几何最优化问题： 利用圆锥曲线的几何特性（如椭圆上一点到两焦点的距离和为定值），解决涉及最短路径、最大面积等优化问题。 本书内容难度适中偏高，要求学生具备扎实的代数运算能力和严谨的逻辑思维。通过大量的例题分析与课后习题的训练，学生将能够系统地掌握解析几何的精髓，为参加更高层次的数学竞赛或进行理工科学习做好充分准备。本书的编写风格力求清晰、逻辑严密，旨在激发学生对数学形式美的鉴赏能力。

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与其他教辅材料相比，这本《高中数学必修5》最让我赞赏的一点是它对“数学思想方法”的强调。很多书只教你怎么“做”题，而这本书更侧重于教你如何“思考”问题。它不满足于解出一道题就算完事，而是会穿插一些“思想探索”的讨论，比如如何运用“数形结合”的思想去简化一个复杂的代数表达式的求值问题，或者如何通过“分类讨论”来确保解题的完备性。这些思想方法的提炼和总结，放在了章节的末尾，但它们的作用却比任何一道例题都来得深远。我感觉自己通过阅读这些分析，开始建立起一个更宏观的数学知识网络，而不是零散的知识点堆砌。这种对底层逻辑和通用解题框架的构建，让我在面对陌生的题目时，有了一个可以依循的思考路径。这本书真正做到了“授人以渔”，它培养的不是解题机器，而是具有独立思考能力的数学学习者。

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这本书的排版和视觉设计，绝对是让人耳目一新的体验。我以前总觉得数学书就得是黑白灰的枯燥模样，但这本《高中数学必修5》明显打破了这种陈规。色彩的运用非常克制但有效，比如在区分不同类型的函数图像时，会使用不同的柔和色调进行高亮标注，一下子就抓住了视觉焦点，有助于记忆。更重要的是，它在章节的衔接处理上做得非常流畅自然。比如，从立体几何的初步认识过渡到向量在空间中的应用时，书中特意设置了一个“知识连接点”的小栏目，用图形化的方式展示了为什么学习平面向量后，就能更有效地处理空间关系。这种设计极大地减少了知识点之间的“断裂感”。我个人对学习的“沉浸感”要求比较高，如果内容和界面设计让人感到疲惫，学习效率会直线下降。这本书在这方面做得非常出色，阅读体验堪称一流，让人愿意主动去翻阅和钻研那些原本可能令人头疼的章节。

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说实话，拿到这本书时，我其实是抱着将信将疑的态度，毕竟市面上关于高中数学的书籍汗牛充栋，但很多都不过是把现行教材的习题换个顺序重新包装一下。然而，《高中数学必修5》这本书在内容的深度和广度上，给我带来了不小的惊喜。它在处理数列这一章时，展现出了极高的专业水准。对于等差数列和等比数列的性质探讨，不仅限于高中要求的基础运算，还深入挖掘了它们在实际问题中的应用背景，比如复利计算模型和自然界中的斐波那契数列的影子。更让我印象深刻的是，书中对“递推关系”的介绍，它没有止步于简单的 $a_{n+1}$ 与 $a_n$ 的线性关系，而是稍微拓展了一些更复杂的递推数列的求解思路，虽然可能不会直接出现在考试中，但极大地拓宽了我的数学视野，让我体会到了数学的魅力所在，远超出了应试的范畴。这种略微超前的、着眼于思维训练的教学设计，让我感觉自己不仅仅是在准备考试，更是在为更高阶段的学习打基础。那些看似不经意的拓展，却是真正区分优秀和平庸学习者的关键。

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坦白讲，我是一个对细节非常敏感的读者，任何逻辑上的瑕疵或者表述上的歧义都会让我反复琢磨，耗费大量时间。在这本《高中数学必修5》中，我几乎没有发现任何值得推敲的含糊之处。它的语言风格非常严谨，但又不失亲切感，像是一位经验丰富的老教师在耳边细细讲解。尤其是在函数与方程的章节，对于求解参数范围这类经典难题，作者提供的解题策略非常全面，并且详尽地分析了每种方法的适用场景和局限性。例如，在涉及到“分离参数法”时，书里不仅给出了标准步骤，还专门用一个小方框提醒读者注意定义域的限制可能带来的陷阱。这种对“陷阱”的预判和提前规避，显示了作者对高中数学考点和学生易错点的深刻洞察。能够如此细致入微地照顾到读者的思维盲区，这本书的编写团队无疑是投入了巨大的心血和专业精神的。

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这本《高中数学必修5》简直是数学学习路上的救星！我原本对三角函数和向量这些概念总是感到云里雾里，每次翻开课本都像在看天书。但这本书的编排方式真是太人性化了。它不是那种干巴巴地罗列公式和定理，而是用大量的实例和图示，把抽象的概念具体化了。特别是对正弦定理和余弦定理的讲解，作者似乎真的站在我们高中生的角度，理解我们卡在哪里。比如，在讲解向量的几何意义时，它不是直接给出公式，而是先从生活中的推拉力现象入手，让我们直观地感受到向量的方向性和大小的重要性。而且，书中的例题设计得非常巧妙，循序渐进，从基础巩固到综合应用，难度梯次非常合理。我记得有一次做一道关于解三角形的应用题，我被卡住了很久，后来回头看书中的解析步骤，才发现自己漏掉了某个关键的几何转化。这本书的讲解思路非常清晰，每一步的逻辑推导都写得详尽无遗，让人感觉自己不是在被动接受知识，而是在跟着老师一步步探索发现。对于我这种需要多看几遍才能消化吸收的“慢热型”学生来说，这样的深度和细节，太重要了。感觉作者真的花了很多心思去打磨每一个知识点的呈现方式，绝不是应付了事的一本教材。

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