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出版者:Addison Wesley

作者:Marvin L. Bittinger

出品人:

页数:1016

译者:

出版时间:2005-03-21

价格:USD 135.33

装帧:Hardcover

isbn号码:9780321233837

丛书系列:

图书标签:

• 代数
• 初等代数
• 中级代数
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• 方程

深入探索抽象的结构：解析几何与微积分的基石 本书旨在为渴望深入理解数学核心概念的读者提供一份全面的指引，它将带领读者穿越代数与几何的边界，为学习更高级的分析学打下坚实的基础。我们聚焦于概念的逻辑构建、理论的严谨推导以及在实际问题中的灵活应用，力求在精确性与直观理解之间架起桥梁。 第一部分：平面与空间的几何构造 本书伊始，我们将重访并深化对笛卡尔坐标系的理解。这不是简单的点位标记，而是将代数运算与几何可视化紧密结合的桥梁。 章节一：坐标系的扩展与变换 仿射几何基础： 探讨二维和三维空间中的向量表示，包括向量的加法、数乘以及内积（点积）。重点阐述内积如何揭示几何关系，如角度和投影。 距离与方程： 详细推导欧几里得距离公式，并将其应用于直线、圆和球体的标准方程形式。我们将深入分析参数方程和隐式方程的异同，以及它们在描述运动轨迹中的优势。 坐标变换的本质： 介绍刚体运动（平移与旋转）对坐标表示的影响。通过矩阵初探，我们展示旋转如何通过简单的线性代数操作来实现，这为后续学习张量分析提供了直观的几何视角。 章节二：曲线的解析表达 本部分致力于将几何图形转化为代数语言，这是解析几何的精髓所在。 二次曲线的统一理论： 不仅仅是识别椭圆、双曲线和抛物线，我们将通过二次型（Quadratic Forms）的视角来理解它们。通过主轴定理（Principal Axes Theorem）的几何直觉解释，我们展示如何通过坐标旋转消除混合项，从而将任何一般二次方程简化为其标准形式。 极坐标与参数化： 探索在特定对称性问题中，极坐标系统相较于直角坐标系的优越性。针对复杂的运动轨迹和周期性现象，我们详细讲解参数方程在描述时间依赖性曲线（如螺旋线、摆线）中的强大功能。 曲线的性质分析： 引入曲率（Curvature）的概念，从几何上直观地解释曲线的弯曲程度。我们使用微积分预备知识（如切线斜率的变化率）来定义曲率，而非仅仅停留在代数定义。 第二部分：函数的深度剖析与极限的严谨构建 超越对基本多项式和有理函数的机械性操作，本部分将函数视为一种动态的关系，并引入现代微积分对“无限小”和“无限大”的处理方法。 章节三：函数概念的深化与拓扑预备 函数的分类与性质： 严格区分单射、满射和双射。重点探讨反函数的唯一性存在条件及其几何意义（对称性）。 复合函数与反函数： 深入分析复合函数在代数结构上的保持性（如连续性、单调性）。我们详细讨论反函数的求解过程，并强调其在特定变换中的重要性。 函数的上界与下界： 引入至关重要的一致有界性（Uniform Boundedness）的概念，理解函数在特定区间内行为的全局约束。 章节四：极限的严格定义与应用 这是本书的核心，我们摒弃直觉理解，采用 $epsilon-delta$ 语言来构建微积分的逻辑基石。 极限的精确定义： 彻底解析 $lim_{x o a} f(x) = L$ 的严格数学含义。通过大量几何构造的实例，展示如何为给定的 $epsilon$ 找到合适的 $delta$。 单侧极限与无穷极限： 探讨函数在特定点趋近或发散时的行为。重点分析垂直渐近线和水平渐近线的代数判据。 序列收敛性： 将极限概念从连续变量推广到离散序列。讨论单调有界序列的收敛定理（Monotone Convergence Theorem）及其在分析中的基础地位。 第三部分：微积分的初步构建：导数的几何与代数解释 本部分将极限理论应用于瞬时变化率的计算，这是连接静态代数与动态分析的关键步骤。 章节五：导数的定义与基本计算法则 瞬时变化率的几何解释： 将导数严格定义为割线斜率的极限，即切线的斜率。详细论证导数如何衡量函数在某一点的“瞬间敏感度”。 基本求导法则的推导： 给出幂法则、乘法法则、商法则的 $epsilon-delta$ 严格证明。着重推导三角函数和指数函数的导数，展示这些看似简单的形式是如何建立在极限论基础之上的。 链式法则的深度解析： 链式法则被视为复合函数变化率的乘积。我们不仅展示其代数运用，更从几何上解释为什么这种“连锁反应”是合理的。 章节六：导数的应用与优化问题 函数的增减性与凹凸性： 利用一阶导数判断函数的单调区间，利用二阶导数判断函数的凹凸性（Concavity）和拐点。这为函数图像的精确描绘提供了完整的工具箱。 极值点的判定： 运用费马定理和二阶导数检验（Second Derivative Test）来确定函数的局部最大值和最小值。 最优化问题的建模： 通过具体的物理和工程场景（如最小化材料、最大化体积），展示如何将实际问题转化为建立目标函数、寻找约束条件，并最终通过求解导数为零的点来获得最优解。 第四部分：积分学的基础：累积与面积的代数化 本部分探讨与导数互逆的过程，即定积分的概念，它回答了“如何累加无限多个微小贡献”的问题。 章节七：黎曼和与定积分的构造 面积的逼近： 从几何上引入矩形逼近面积的概念。详细讲解黎曼上和（Upper Sum）与黎曼下和（Lower Sum）如何逐步收敛。 定积分的严格定义： 定义黎曼可积性，并探讨不连续点对积分存在性的影响。 微积分基本定理（The Fundamental Theorem of Calculus）： 这是全书的里程碑。我们将分两部分详细证明：第一部分（导出积分函数）和第二部分（利用反导数计算定积分）。这个定理的深刻意义在于，它揭示了微分和积分这两个看似不同的过程之间的内在统一性。 章节八：不定积分与基础积分技巧 反导数的求解： 介绍寻找不定积分（或称反导数）的基本方法。 基本积分表与技巧： 深入学习换元法（Substitution Rule）——这是链式法则的积分对应形式，并详细讲解分部积分法（Integration by Parts）的推导及其在处理乘积形式函数时的强大威力。 本书的最终目标是培养读者对数学结构的高度敏感性，确保读者在接触多元微积分、微分方程或更深层次的数学分析时，能够拥有一个稳固且富有洞察力的基础。

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这本书，老实说，我拿起它的时候心里是有点忐忑的。我早就听说大学基础数学课上的“代数”简直是道坎，尤其对我这种高中数学基础不算扎实的人来说。翻开《Elementary and Intermediate Algebra》，首先映入眼帘的是那种教科书特有的、略显严肃的排版，但仔细看下去，那种感觉就慢慢消散了。编排的逻辑性非常强，从最基本的数字运算概念开始，如同剥洋葱一样，一层层地深入到更复杂的方程组和函数图像。我特别欣赏它在概念解释上那种不厌其烦的细致，很多我自以为“懂了”的地方，作者都会用不同的角度再掰扯一遍，确保你不是死记硬背公式，而是真正理解了背后的数学原理。比如，在处理二次方程的配方法时，书中不仅给出了推导过程，还配上了大量的图示来辅助理解，这对我这种视觉学习者来说简直是救星。我记得有一次我被一个关于有理表达式的化简卡住了，翻到后面例题的解析步骤，发现作者居然把每一步的“为什么”都用注解写了出来，而不是简单地展示计算过程。这让我深刻体会到，这本书的目标不仅仅是让你通过考试，而是真正地把代数思维植入你的脑海深处。那种感觉就像一个耐心且知识渊博的导师，在你身边一步步引导，让你在面对那些看似枯燥的符号和数字时，渐渐建立起自信和掌控感。

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这本书给我带来的最大的收获，是一种学习数学的“心态重塑”。过去我对代数有一种根深蒂固的恐惧感，总觉得它代表着复杂和失败的可能。但是随着我使用《Elementary and Intermediate Algebra》的深入，我开始意识到，所谓的“困难”，往往源于理解上的偏差，而非知识本身的不可逾越。书中的错误排查和“常见陷阱”提示功能做得特别到位。它会预设读者可能会在哪里犯错——比如符号误用、除以零的边界条件，或者在处理根式时的取值范围——然后提前给出警告和详细的解释。这就像有一个经验丰富的“老司机”在旁边提醒你路况，让你避开了那些隐藏的“坑”。这种前瞻性的指导，极大地增强了我的解题信心。我不再害怕那些看起来复杂的问题，因为我知道，只要我遵循系统的方法，一步步拆解，最终总能找到出路。这本书让我学会了用一种更冷静、更结构化的方式去对待数学难题，它教我的不仅仅是代数知识，更是一种解决复杂问题的思维模式。现在回头看，这本书真不愧是经典，它不仅是一本工具书，更像是一次思维训练营的指导手册，让我受益匪浅。

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这本书的“阅读体验”，如果能用这个词来形容一本代数教材的话，可以说是出乎意料的流畅。通常我翻开数学书，感觉就像在啃一块硬邦邦的干粮，需要费很大的力气去咀嚼和消化。但是《Elementary and Intermediate Algebra》在语言组织上，明显花了很多心思去“润色”。作者非常擅长使用简洁而精准的语言来描述复杂的数学概念，避免了晦涩难懂的学术术语堆砌。在介绍新的变量或操作符时，它总会先用一个非常接地气的比喻或者情景来铺垫，让初学者瞬间就能抓住重点。比如，讲到多项式除法时，作者用类比于长除法（小学学的那个）的结构来构建知识点，这种横向的联系建立得非常自然，让人感觉代数知识并非孤立存在，而是建立在已有的数学基础之上的。而且，书中的插图和图表设计也极具现代感，它们不是那种过时、单色的线条图，而是色彩分明、重点突出的可视化工具，极大地减轻了视觉疲劳。坦白说，我过去总是在数学书前昏昏欲睡，但这本书，我发现自己能保持更长时间的专注，这完全归功于它在呈现方式上的精心打磨，让学习过程本身也变成了一种享受，而不是煎熬。

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作为一本涵盖了基础到中级的代数教材，它在内容覆盖的广度和深度上达到了一个很好的平衡点。我特别看重它在衔接上所做的努力。很多教材要么过于偏向初级概念的反复操练，导致中级内容一笔带过；要么一开始就假定读者已经掌握了所有预备知识，直接切入高阶主题。这本书则不然，它非常清晰地划分了“初级”和“中级”的界限，但在过渡章节的处理上极其细腻。比如，在引入函数概念之前，它用了专门的篇幅回顾了变量和表达式的变换，这为函数、特别是线性函数的理解奠定了坚实的基石。当我学到矩阵运算和行列式时，我发现书中的介绍是如此的系统化，从定义到高斯消元法，每一步都有清晰的逻辑支撑，完全没有那种“突然冒出来一个新工具”的感觉。这表明编者对学习曲线的把握非常精准，他们知道在哪个知识点上需要放慢脚步，需要进行更多的巩固和铺垫，而又在哪里可以适当地加快节奏，激发读者的求知欲。对于想要系统性地打牢代数根基，并为后续的微积分或线性代数做准备的人来说，这本书的这种结构设计简直是教科书级别的范本。

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我接触了不少数学教材，但这本书在习题设计上的独到之处，真的让我印象深刻。它绝不是那种为了凑数而堆砌题目的书。每一章节后面的练习题都呈现出一种非常巧妙的递进关系。一开始是基础的巩固练习，题量适中，确保你把刚刚学到的概念立刻应用起来；接着是“应用题”部分，这些题目可不是那种生硬的、脱离实际的想象情境，而是大量取材于生活、金融、甚至基础物理学中的实际问题。我记得有一部分是关于复利计算的，它把一个看似复杂的金融模型，拆解成了几个简单的代数步骤，让你在解决实际问题的同时，也体会到了代数工具的强大威力。更棒的是，它在一些难度较高的挑战题中，会鼓励你尝试不同的解题路径，而不是强行规定你只能用书上教的那一种方法。这在很大程度上培养了我的批判性思维和灵活性。很多时候，我解完题目，会特意回头去看答案后面的“拓展思路”，作者在这里提供的思路往往能给我带来豁然开朗的感觉，让我意识到一个问题可以从多个维度去审视和攻克。这本书的习题量是相当可观的，如果能扎扎实实地完成下来，我相信任何一个读者在代数基础上的功底都会变得极其扎实，足以应对后续更高等的数学课程。

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