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出版者:上海科学技术出版社

作者:冯果忱

出品人:

页数:286

译者:

出版时间:1989

价格:4.85

装帧:简装

isbn号码:9787532303847

丛书系列:

图书标签:

• 数学
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现代数值分析：理论与实践 本书聚焦于现代数值分析的核心领域，系统梳理了从基础理论到前沿算法的广泛知识体系。 本书旨在为高等院校理工科学生、科研人员以及工程技术人员提供一部全面、深入且注重实践的参考著作。 全书结构严谨，内容涵盖了数值分析的经典框架与当代研究热点，强调数学原理的严密性与算法实现的有效性之间的平衡。我们摒弃了对特定软件或编程语言的过度依赖，转而着重于算法背后的数学机理、收敛性质的严格证明以及误差分析的精细化处理。 第一部分：误差分析与函数逼近的基石 本部分奠定了整个数值分析领域的基础。我们首先深入探讨了误差的来源、传播与量化，包括截断误差与舍入误差的定性和定量分析，并详细介绍了条件数和远端误差的概念，这对评估任何数值方法的可靠性至关重要。 随后，我们转向函数逼近。经典的多项式插值理论占据了核心地位，重点讨论了拉格朗日插值、牛顿插法以及高次插值中著名的龙巴特定理（Runge现象），并阐述了如何通过分段插值（如样条插值）来克服全局插值带来的不稳定性。我们不仅推导了最佳一致逼近（最小极大逼近）的基础，还探讨了如何在实际工程中应用最小二乘逼近，包括对加权最小二乘和正交多项式基函数的详细分析。 第二部分：数值积分与微分的精确化 在这一部分，我们致力于如何精确地估计定积分和导数。对于数值积分（数值求积），本书系统介绍了牛顿-柯特斯公式（包括梯形法则、辛普森法则）的构造原理、精度分析及其代数精度。更进一步，我们深入探讨了高斯求积公式的构造、正交性基础及其卓越的收敛速度，并分析了复化公式在提高精度上的应用。 针对数值微分，我们从有限差分的定义出发，推导了前向、后向及中心差分的误差项，并详细讨论了如何利用泰勒展开式构建更高精度的差分公式。此外，书中还涵盖了对流项（Advection Term）处理中的高阶精度格式，例如迎风格式的改进和高分辨率格式（HODGM）的设计思想，这在流体力学等领域具有实际应用价值。 第三部分：常微分方程的数值求解 常微分方程（ODE）的数值求解是工程计算的重中之重。本书对此进行了详尽的论述，从单步法（如欧拉法及其改进形式、龙格-库塔族方法，重点分析四阶RK方法的理论推导与实际效率）入手，逐步过渡到多步法（如Adams-Bashforth和Adams-Moulton公式）。 我们着重分析了这些方法的稳定性和收敛性。引入了A-稳定、L-稳定等概念，并对绝对稳定性区域进行了图解分析，帮助读者理解求解刚性（Stiff）ODE系统的挑战。书中还专门辟章讨论了变步长算法的实现策略，例如使用Runge-Kutta-Fehlberg方法进行误差控制的机制。 第四部分：矩阵特征值问题的数值方法 矩阵特征值问题是线性代数在应用中的核心。本书详细阐述了求解特征值和特征向量的经典算法。我们首先介绍了相似变换的基本性质，随后深入讲解了幂法（求最大特征值）和反幂法（求特定特征值），并分析了它们的收敛速度。 对于稠密矩阵，本书全面剖析了QR算法的结构，包括如何利用Householder变换或Givens旋转将矩阵对角化，并阐述了QR算法的全局收敛性。对于大型稀疏矩阵，本书介绍了Lanczos迭代法和Arnoldi迭代法的原理，它们是求解大型特征值问题的有效工具，尤其适用于量子化学和结构动力学等领域。 第五部分：优化理论与函数求极值 本部分转向函数或向量的优化问题。在一维无约束优化方面，我们比较了进退法、Fibonacci搜索、黄金分割法以及更高效的内点法或外推法。 在多维无约束优化中，本书详细讲解了梯度下降法的理论基础，随后深入剖析了牛顿法（及其引入阻尼因子以保证收敛性）的二次收敛特性。重点章节在于拟牛顿法，详细介绍了BFGS和DFP方法的构造、秩一/秩二修正的推导过程，以及它们在实际应用中如何平衡计算成本与收敛速度。书中也对共轭梯度法的理论进行了系统性的阐述。 --- 本书的每一章节都配有详尽的数学推导、直观的几何解释，并辅以丰富的案例分析，旨在培养读者将抽象的数学模型转化为可靠的计算方案的能力。通过对理论的深入理解和对算法细节的精细把握，读者将能够独立设计、分析和改进复杂的数值计算方法。

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这本书的参考文献部分处理得非常到位，体现了作者扎实的学术底蕴和对领域内经典文献的全面掌握。它不仅仅是简单地罗列了出处，更在某些关键章节的末尾，对引用的核心论文做了简短的评述，指明了该方法的历史地位和主要贡献。这种“讲故事”式的引用方式，极大地拓宽了我的学术视野。我通过查阅书中推荐的几篇早期论文，发现我对某些迭代法的理解更加立体了，不再局限于教科书上的简化版本。此外，书中对于如何进行数值实验的设计也提供了宝贵的经验，例如，如何设置合理的容差阈值，如何使用不同的随机数生成器来测试算法的健壮性，这些细节上的指导，对于任何想要发表高质量研究成果的人来说，都是无价之宝。它不仅仅是一本教材，更像是一份进入高阶研究领域的“地图”。

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从一个侧重于高性能计算（HPC）的角度来看待这本书，我发现它在并行化策略的讨论上略显保守，这也是很多传统数值分析教材的通病。诚然，书中对串行算法的效率分析和误差估计做得非常出色，各种优化技巧的引入也展现了作者深厚的功底。例如，它详尽地分析了Jacobi和Gauss-Seidel在内存访问模式上的差异，并给出了理论上的速度优势对比。但是，对于现代大规模问题的求解，例如涉及数百万甚至数十亿自由度的流体力学或结构力学问题，并行效率往往是决定项目成败的关键。我期望书中能够更深入地探讨如域分解法（Domain Decomposition Methods）或分布式内存环境下的预条件器构建，并结合MPI或OpenMP等并行编程模型给出一些具体的案例分析。目前的讨论更多停留在单机多核的层面，对于分布式集群的内存通信开销和负载均衡问题提及不多，这使得它在指导前沿HPC应用开发时，稍显不足。

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这本书的语言风格可以说是严谨中带着一丝学者的幽默感，尤其是在讨论某些著名的“失败”算法时，作者的描述显得非常到位，既指出了其理论缺陷，又巧妙地避免了过于苛刻的评价。我个人最喜欢的是书中对“数值稳定性”的探讨，作者没有采用“一刀切”的判断，而是引入了“病态问题”的概念，并配以不同条件数矩阵的迭代曲线作为佐证。这种详尽、多维度的分析方式，彻底改变了我过去对“稳定”和“不稳定”的二元对立认知。阅读过程中，我感到自己仿佛在与一位经验丰富的导师进行深度交流，他不仅教会了我如何计算，更重要的是教会了我如何批判性地思考计算结果的可靠性。总而言之，这本书的价值远远超过了它作为一本计算方法的参考书的定位，它塑造了一种严谨、求实的科学研究态度。

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这本书的装帧设计着实令人眼前一亮，封面采用了深邃的藏蓝色为主调，搭配烫金的字体，散发出一种沉稳而专业的学术气息。初次翻阅时，我立刻被其清晰的目录结构所吸引。它并非那种堆砌公式的冷冰冰的教材，而是仿佛一位经验丰富的老教授，循序渐进地引导读者进入复杂计算的殿堂。作者在绪论部分便花费了大量笔墨，用生动的比喻解释了诸如“收敛性”和“稳定性”这些抽象概念，使得即便是初次接触数值分析领域的读者也能迅速建立起直观的认识。特别是对于如何选择合适的预处理技术，书中不仅给出了理论依据，还穿插了数个实际工程案例的简要描述，让我深刻体会到理论与实践之间的桥梁是如何搭建起来的。全书的排版也极为考究，代码示例的缩进和注释都恰到好处，极大地提升了阅读体验，让人感觉作者是用心在和读者进行一场深入的学术对话，而不是简单的知识倾倒。

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我是一名侧重于应用数学的研究生，原本对这类偏理论的书籍抱持着一丝谨慎的态度，担心内容会过于晦涩难懂。然而，这本著作的叙述方式完全超出了我的预期。它在讲解复杂算法，例如Krylov子空间方法时，并没有直接抛出繁琐的矩阵运算，而是先从几何直觉入手，解释了这些方法背后的优化目标和迭代过程的物理意义。我特别欣赏作者在推导关键定理时所展现的逻辑严谨性，每一步的转换都有清晰的论证，辅以大量的图示，将原本抽象的数学操作可视化了。书中对不同迭代法的局限性分析得尤为深刻，比如何时GMRES可能比CG更有效，以及循环不佳的预处理矩阵对求解速度的负面影响，这些都是我在实际编程中经常遇到的痛点，书中提供了非常及时的理论指导。这使得我不再是机械地套用公式，而是真正理解了“为什么”要选择这种方法，这对于优化我的求解器性能至关重要。

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