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出版者:厦门大学

作者:温永仙

出品人:

页数:352

译者:

出版时间:2007-8

价格:28.00元

装帧:

isbn号码:9787561528198

丛书系列:

图书标签:

• 概率论
• 统计学
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数学分析与高等代数精要：理论构建与应用实践 图书简介 本书旨在为读者提供一套严谨而实用的数学分析和高等代数知识体系。它并非对现有教材的简单复述，而是侧重于概念的深度剖析、理论的内在逻辑梳理，以及这些核心数学工具在解决实际问题中的高效运用。全书结构精炼，内容聚焦于那些构筑现代科学与工程大厦的基石性知识点，力求让读者在掌握数学语言的同时，建立起深刻的数学直觉。 第一部分：数学分析——极限、连续性与微积分的艺术 (约800字) 第一章：实数系统与拓扑基础 本章从集合论的视角出发，构建起完备的实数系统 ($mathbb{R}$)。我们详述了实数的上确界原理（Least Upper Bound Property），这一原理是后续所有分析学论证的逻辑起点。接着，我们引入拓扑概念，如开集、闭集、邻域和聚点。这些看似抽象的概念，实则是理解函数局部行为和序列收敛性的关键。我们通过具体的例子，如有理数集和无理数集在实数轴上的分布，展示拓扑结构如何决定数学对象的“接近性”。本章强调，理解实数系统的完备性，比单纯记住公理更为重要，它是区分高中代数与大学分析的根本分水岭。 第二章：极限的严谨定义与序列收敛性 极限，是数学分析的灵魂。本章严格审视 $epsilon-N$ 语言，并将其应用于数列极限的证明。我们不满足于直观理解，而是深入探讨极限存在的充要条件，例如柯西收敛准则（Cauchy Criterion）。在此基础上，我们过渡到函数极限的讨论，详细阐述了单侧极限、双侧极限之间的关系，以及为什么在特定情况下需要引入林点（Limit Point）的概念。本章特别设置了一节，专门分析“病态”函数（如狄利克雷函数），以展示直觉在面对数学精确性时的局限性。 第三章：连续性、一致连续性与中介定理 连续性是直觉的数学化。本章首先给出函数连续性的拓扑定义（原像的开闭性），随后讨论其等价的代数定义。重点在于区分点式连续与一致连续性（Uniform Continuity）。我们证明了在紧集上连续的函数必然一致连续这一核心定理，并用反例说明了非紧集上的函数可能不满足一致连续性。此外，介值定理（Intermediate Value Theorem）和极值定理被放置在紧集理论的框架下进行阐述，强调了这些定理背后的几何与拓扑含义。 第四章：导数——瞬时变化率的精确刻画 导数的定义是基于极限的商。本章精细化了导数的定义域和可导性的条件。我们分析了导数存在性与函数连续性之间的关系（可导蕴含连续，反之不然）。接下来的重点是微分法则的严格推导，包括乘法定则、除法定则和链式法则。我们引入洛必达法则（L'Hôpital's Rule），并严格证明其适用条件（未定式类型与辅助定理的使用）。最后，我们讨论了高阶导数的意义，并引入泰勒定理（Taylor's Theorem），详述了拉格朗日余项和皮亚诺余项的本质区别，为后续的幂级数展开打下基础。 第五章：黎曼积分与微积分基本定理 本章将分析学的焦点转向累积问题。我们系统地定义了黎曼可积性，讨论了可积函数的类别（如连续函数、单调函数）。积分的定义依赖于上和与下和的逼近。本章的最高潮是微积分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）的证明，我们将其拆分为上下限函数的可微性定理和牛顿-莱布尼茨公式，清晰地揭示了求导和积分的互逆关系。我们还简要探讨了积分的性质，如中值定理，并为广义积分的收敛性判断作了初步铺垫。 --- 第二部分：高等代数——向量空间与线性变换的结构 (约700字) 第六章：域、线性空间与子空间 高等代数的出发点是抽象代数结构。本章首先定义了域（Field），重点关注 $mathbb{R}$ 和 $mathbb{C}$ 作为最常用的系数域。随后，我们建立线性空间（Vector Space）的公理体系，着重于向量的线性组合、线性相关性与线性无关性的严格界定。子空间的定义和检验方法是本章的实践重点。我们通过具体的矩阵和函数空间例子，阐明线性空间的本质是关于“加法封闭”和“数乘封闭”的结构。 第七章：基、维数与坐标变换 基（Basis）是线性空间的骨架。本章证明了任何线性空间的基是存在的，并且任何两个基的元素个数相同——即维数（Dimension）的唯一性。我们详细阐述了如何通过基变换来理解同一线性算子在不同坐标系下的表示变化。本章包含大量的矩阵运算实例，强调矩阵的秩与向量空间的维度之间的深刻联系。 第八章：线性映射与矩阵表示 线性映射（Linear Transformation）是描述空间结构变换的核心工具。我们从定义出发，证明了线性映射的唯一性由其在基上的取值完全决定。本章的核心任务是将抽象的线性映射转化为具体的矩阵表示。我们详细分析了核（Kernel）和像（Image）这两个重要子空间，并运用秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem）来揭示它们的内在平衡关系。 第九章：线性方程组的求解与矩阵的初等变换 本章聚焦于求解 $Ax=b$。我们系统地介绍了高斯消元法（Gaussian Elimination）和行阶梯形的构建过程。我们将线性方程组的可解性、解的结构（唯一解、无穷多解）与系数矩阵的秩紧密联系起来。本章深入探讨了初等矩阵的性质，展示了如何通过一系列初等行变换将矩阵化为简化形式，从而揭示矩阵的内在属性。 第十章：特征值、特征向量与对角化 特征值（Eigenvalues）和特征向量（Eigenvectors）是分析线性变换性质的关键。我们定义了特征多项式，并讨论了如何求解它们。本章的重点在于对角化（Diagonalization）。我们严格证明了：只有当一个 $n$ 维线性空间拥有一组由特征向量构成的基时，该线性映射才能被对角化。本章还引入了相似矩阵的概念，并说明了对角化与矩阵相似变换的本质联系。 第十一章：内积空间、正交性与谱定理 在引入了内积（Inner Product）后，向量空间升级为内积空间，从而具备了长度、角度和投影的概念。我们讨论了施密特正交化过程（Gram-Schmidt Orthogonalization），用于构造正交基。本章的重头戏是谱定理（Spectral Theorem），它揭示了实对称矩阵和自伴随算子在正交基下的对角化特性，这对于物理学中的量子力学和数据分析中的主成分分析至关重要。 --- 结语 本书的编排逻辑遵循“从具体到抽象，再从抽象回归具体”的原则。通过对分析学中极限、连续性和微积分的严谨处理，读者将获得处理动态过程的能力；通过高等代数中对线性空间和映射的结构化认知，读者将掌握分析和表达复杂系统关系的强大工具。本书的价值不在于囊括所有分支，而在于夯实分析与代数这两大支柱，为后续深入学习微分方程、泛函分析或应用数学打下坚实的基础。

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我手里有不少统计学的参考书，但这本书在“应用性”和“严谨性”之间找到了一个近乎完美的平衡点。很多强调应用的教材，为了追求易懂而牺牲了理论的严谨性，读完后感觉自己学了一堆公式，却不知道它们从何而来；而另一些过于理论化的著作，又让我感到云里雾里。这本《简明概率统计教程》在这方面做得极其出色。它的每一章节后面，都会附带一小块“理论溯源”或者“实际案例剖析”，这部分内容虽然篇幅不长，但信息密度极高。比如，当我学到假设检验时，它不仅讲解了P值和显著性水平的计算，还详细分析了第一类错误和第二类错误的实际业务后果，甚至用一个医疗诊断的例子，将这两种错误在不同情境下的成本做了量化对比。这种将抽象数学工具与真实世界决策紧密结合的写法，极大地提升了我的学习兴趣，让我觉得概率统计不再是枯燥的数字游戏，而是解决复杂商业或科研问题的有力武器。

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这本书的版式设计和语言风格，透露着一种毫不妥协的“简明”精神。试想一下，如果你打开一本教材，发现满屏的希腊字母和复杂的积分符号，你的阅读欲望可能已经消退了一半。但《简明概率统计教程》的排版非常清爽，留白恰到好处，使得公式和文本的逻辑关系一目了然。更难能可贵的是它的语言，它避免了那些冗长、绕圈子的学术陈述，转而采用了一种近乎对话式的表达。比如，它在介绍贝叶斯定理时，没有直接抛出复杂的公式，而是先问了一个问题：“如果我们已经知道了一些信息，我们应该如何‘更新’我们原有的判断？” 然后才自然地引出贝叶斯公式。这种以问题为导向的叙述方式，使得学习过程充满了探索的乐趣，而不是被动地接受知识灌输。我个人认为，对于自学者来说，这种清晰的引导作用是至关重要的。

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从我个人的学习体验来看，这本书在“习题设置”上的匠心独运，是它区别于市面上其他教材的关键亮点。很多教材的习题要么太简单，只是公式的直接套用，要么又太偏怪，脱离了实际应用场景。这本书的习题明显是经过精心挑选和设计的。它将习题分为了三个层次：基础巩固、应用拓展和思维挑战。基础巩固部分确保了基本概念的掌握，应用拓展部分则紧密结合了工程、金融或社会科学的常见场景，比如要求计算股票收益率的波动性，或者分析市场调研数据的显著性。而“思维挑战”部分，往往只给出一个不完整的情景或一个反直觉的现象，要求读者自己去构建模型，这极大地锻炼了我的建模能力。我发现，每当我独立解出一道思维挑战题时，对相关知识点的理解都会上升到一个新的高度，这比单纯记住一堆公式有效得多。

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我必须强调这本书在“从描述性统计到推断性统计”这一过渡处理上的高明之处。很多教材在介绍完均值、方差这些描述性概念后，突然跳到抽样分布、置信区间，中间的逻辑断层常常让初学者感到迷茫：为什么我们需要这些复杂的推断工具？《简明概率统计教程》巧妙地利用了“不确定性”这个核心概念来搭建桥梁。它首先用大量的例子展示了现实世界数据的随机性和不完全性，然后自然而然地引出：既然我们无法接触到所有数据（总体），我们如何通过一小部分数据（样本）来合理地推测整体情况？这种循序渐进的引入方式，让“统计推断”不再是一个突兀的概念，而是解决现实问题的必然选择。整本书读下来，感觉像是经历了一次有目的的、逻辑严密的思维训练，而不是简单地学习了一门科目。

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这本《简明概率统计教程》简直是为我这种数学基础薄弱，但又急需掌握核心统计学概念的人量身定做的。最让我惊喜的是它对理论的讲解丝毫不拖泥带水，直击要害。比如，在解释大数定律和中心极限定理时，作者没有陷入复杂的数学推导泥潭，而是用非常形象的例子和清晰的逻辑链条，把这两个看似高深的概念讲得像讲故事一样引人入胜。我记得我以前看的很多教材，光是看前几页就感觉像在啃石头，但这本书不一样，它似乎知道读者什么时候会感到困惑，总能在关键时刻提供一个恰到好处的类比。尤其是在处理随机变量的期望和方差时，作者的处理方式非常“动手”，直接给出了计算模板，让我这个平时对符号运算感到头疼的人，也能迅速上手解决实际问题。这套书的编排逻辑，就像一位经验丰富的导师，知道什么时候该放慢脚步，什么时候该加速前进，确保每一个概念都能牢牢地扎根在读者的脑海里，而不是仅仅停留在表面的理解。

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这本是我们学院编的。。。雷。。。

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