矩阵理论与应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:科学

作者:陈公宁

出品人:

页数:353 页

译者:

出版时间:2007年08月

价格:56.00元

装帧:平装

isbn号码:9787030195319

丛书系列:现代数学基础丛书

图书标签:

• 数学
• 矩阵理论与应用
• 2007
• 矩阵理论
• 线性代数
• 数学
• 高等教育
• 应用数学
• 数值计算
• 工程数学
• 科学计算
• 矩阵分析
• 数学建模

《离散数学基础与算法设计》 内容简介 本书旨在为读者系统性地构建离散数学的理论框架，并深入探讨其在现代计算机科学与工程领域中的核心应用，特别是算法设计与分析。全书结构严谨，内容详实，力求在理论深度与实践广度之间取得完美平衡，是高等院校数学、计算机科学、信息工程等专业本科生及研究生学习离散数学的理想教材，同时也是相关领域研究人员和工程师提升专业素养的参考手册。 本书共分为六大部分，共计十八章，内容涵盖了离散数学的经典核心概念与前沿交叉领域。 第一部分：逻辑与证明 本部分聚焦于数学推理的基石——命题逻辑与谓词逻辑。详细阐述了命题的结构、连接词的运算、真值表、逻辑等价性以及推理规则（如肯定前件、否定后件等）。我们不仅教授如何形式化地表达日常语言中的逻辑语句，更侧重于自然演绎法的训练，使读者能够熟练运用这些工具来构建严谨的数学证明。 谓词逻辑部分，引入了量词（全称量词与存在量词）的概念，并探讨了如何将复杂的、含有变量的陈述转化为规范的逻辑表达式。重点内容包括一阶逻辑的完备性与可靠性引言，为后续的集合论和关系理论打下坚实的逻辑基础。 第二部分：集合论与基础结构 本部分是理解所有离散结构的基础。从朴素集合论出发，系统地介绍了集合的运算（并、交、差、幂集、笛卡尔积）及其性质。我们深入探讨了容斥原理（Inclusion-Exclusion Principle），并通过丰富的实例展示了它在计数问题中的强大威力。 随后，内容扩展至函数的严格定义（单射、满射、双射）及其性质，特别是逆函数和复合函数的概念。本部分对无穷集合的概念进行了初步的接触，引入了基数的直观理解，为后续的可数性与不可数性讨论埋下伏笔。 第三部分：关系、排序与图论的引入 关系理论是连接集合与结构的关键桥梁。本书详细讨论了二元关系的表示方法（如邻接矩阵）及其性质（自反性、对称性、传递性）。核心章节集中于等价关系与偏序关系。等价关系下的划分概念将被详尽阐述，而偏序关系则引出哈斯图（Hasse Diagrams），直观展示了部分有序集（Poset）的结构。 从关系过渡到图论，本部分首次引入了图的基本术语，如顶点、边、度、子图等。我们对连通性、欧拉路径和哈密顿路径进行了初步的介绍，并展示了如何利用矩阵来刻画图的结构特性。 第四部分：图论的深入分析与应用 图论部分是本书的重点之一，与算法设计紧密结合。本章系统地剖析了各类特殊图，如完全图、二分图、平面图等。 关键主题包括： 1. 图的着色问题：图的色数及其相关定理（如四大颜色猜想的历史背景）。 2. 树结构：树的定义、性质，以及生成树的概念。重点讲解了最小生成树算法（普里姆算法和克鲁斯卡尔算法）的原理、步骤与复杂度分析。 3. 最短路径问题：详尽分析了迪杰斯特拉算法（Dijkstra's Algorithm）和贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford Algorithm），特别强调了它们处理负权边的能力差异。 4. 网络流：引入最大流-最小割定理，探讨了福特-富尔克森算法的基本思想，展示了图论在资源分配问题中的实际效能。 第五部分：计数方法与组合分析 本部分致力于发展系统性的计数工具，超越了简单的排列组合公式。我们从鸽巢原理（Pigeonhole Principle）的简单应用开始，逐步深化到更复杂的计数技术。 核心内容包括： 1. 生成函数（Generating Functions）：作为解决递推关系和组合问题的强大代数工具，本书详细介绍了普通生成函数和指数生成函数的构造与使用，特别是如何利用其系数来解答特定组合问题。 2. 递推关系（Recurrence Relations）：重点分析了线性齐次与非齐次递推关系的求解方法，包括特征方程法和利用生成函数求解，并将其应用于分析算法的运行时间（如分治算法的复杂度）。 第六部分：代数结构基础与编码理论 最后一部分将读者带入抽象代数的初步视野，这些结构在加密学和编码理论中扮演核心角色。我们定义了群（Groups）、环（Rings）和域（Fields）的基本概念，侧重于有限域（如$mathbb{Z}_p$）的应用。 将这些代数结构应用于信息科学，本书详细介绍了编码理论的基础。探讨了如何利用线性代数和群论的知识来构造和分析线性分组码，例如汉明码（Hamming Codes），用于检测和纠正传输中的错误，体现了离散数学在保障数据可靠性方面的关键作用。 贯穿全书的特色： 本书强调算法思维的培养。几乎每引入一个关键概念（如集合的等价性、图的连通性、递推关系的求解），都会紧密结合至少一个相关的算法，并对其时间复杂度和空间效率进行严谨的分析（使用大O符号和$Omega$符号）。大量的图示、详尽的逐步推导和精心挑选的例题，确保读者能够将抽象的数学理论转化为解决实际计算问题的能力。习题设计兼顾理论证明和计算应用，以期全面提升读者的数学素养和工程实践能力。

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说实话，我本来对这种偏理论的教材有点望而却步，毕竟我的背景更偏向于计算机科学而非纯数学。但是，这本书的编排结构非常巧妙，它没有一上来就抛出一堆抽象的公理和定义，而是用非常直观的方式引入了线性代数的核心概念。我最喜欢它处理矩阵不等式和范数那部分内容，作者没有把这些仅仅看作是证明工具，而是将其视为衡量系统稳定性和误差界限的物理量。这种“应用导向”的思维贯穿全书，使得原本可能显得艰涩的内容变得生动起来。我记得有一段关于迭代收敛性的讨论，它用了流体力学中的一个例子来说明迭代步长选择的重要性，这比纯粹用收敛半径来解释要形象得多。对于初学者或者希望巩固基础的专业人士来说，这本书的数学严谨性是毋庸置疑的，但它真正的高明之处在于，它能将那些冰冷的数学符号赋予实际的物理或信息意义。阅读过程中，我感觉自己不是在解题，而是在与一个经验丰富的导师对话，他耐心地引导我，让我看到每一步推导的“意义”所在。

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从一个应用开发者的角度来看，这本书在讨论矩阵分解的计算效率方面，可以说是鞭辟入里。它花了大量的篇幅来比较LU分解、QR分解以及SVD在不同硬件架构和数据稀疏度下的实际性能表现。书中关于如何利用矩阵的稀疏特性来优化存储和运算的讨论，对我目前处理的TB级数据模型优化工作带来了直接的启发。我发现，一些教科书常常忽略了实际计算中的内存访问模式和缓存局部性对算法性能的影响，而这本书恰恰弥补了这一点，它将理论的优雅性与现实计算的“粗糙性”巧妙地结合在了一起。它没有回避高阶概念，比如广义逆和伪逆，但总是能将这些抽象的概念拉回到解决实际问题的层面，比如参数估计或系统辨识。总的来说，这本书提供的知识深度和广度，远超一本标准教材的范畴，它更像是一部关于如何驾驭矩阵这一强大工具的百科全书，能够有效提升你在数据驱动型科学领域的竞争力。

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我是一位跨界研究者，目前的工作涉及大量的数值模拟，对数值稳定性的要求极高。这本书在处理矩阵的条件数和病态问题时的论述，简直是一剂强心针。它没有回避数值计算中那些令人头疼的“脏”问题，而是坦率地分析了误差是如何在矩阵运算中被放大和传播的。特别是关于正交投影和最小二乘法的章节，作者不仅给出了理论解，还深入探讨了QR分解和Cholesky分解在实际求解中的效率差异和稳定性对比。这种对计算复杂度和稳定性的双重考量，正是工程应用中最需要的。我发现，以往我只是凭经验去选择算法，现在我能更清晰地从理论层面解释为什么某个算法在我的特定数据结构下会崩溃或收敛缓慢。这本书的参考资料部分也相当丰富，为我后续深入探索更前沿的稀疏矩阵求解技术指明了方向。它不仅仅是一本教科书，更像是一本高级数值方法实践指南的理论基石。

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这本书的叙事风格非常古典和严谨，字里行间透露出一种深厚的学术积淀。它对矩阵空间的线性变换的解释，采用了多角度的阐述，从行空间、列空间到零空间，层层递进，构建了一个非常坚固的理论框架。我尤其赞赏它对抽象代数概念的引入，虽然我不是专业做代数的，但这些背景知识极大地帮助我理解了更复杂的张量分析和非线性系统的线性化过程。作者在讲解矩阵函数（如矩阵指数）时，采用了级数展开和对角化分解两种方法并行的策略，这使得读者可以清晰地看到不同数学工具在处理同一问题时的优劣。这本书的阅读体验是需要投入精力的，它要求读者保持高度的专注，但这绝对是值得的。它像是一部详尽的地图集，为探索更广阔的数学世界提供了精确的坐标系。它不仅仅教你如何计算，更重要的是教你如何“思考”矩阵的结构。

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这本书简直是为我量身定做的，我最近刚接触到一些高阶的工程优化问题，发现传统的数值方法总是差那么一点意思，尤其是处理大规模稀疏系统时，效率低下得令人发指。这本书的深度恰到好处，它没有停留在纯粹的数学推导上，而是非常清晰地阐述了为什么某些矩阵分解或迭代方法在特定应用场景下会表现出惊人的优越性。我特别欣赏作者在讲解特征值和奇异值分解（EVD/SVD）时，那种将理论与实际工程案例紧密结合的叙述方式。例如，它在信号处理那一章里，对主成分分析（PCA）的几何意义解释得非常到位，让我茅塞顿开，明白了数据降维背后的矩阵几何直觉。这本书的行文流畅，公式推导详略得当，既保证了严谨性，又避免了枯燥的纯符号游戏。对于我这种有一定数学基础，但希望将理论快速应用于解决实际工程挑战的读者来说，这本教材无疑是一座宝贵的知识桥梁，它让我对“矩阵不仅仅是数字的排列”有了更深层次的理解，它是一种描述系统、提炼信息的强大语言。读完后，我在处理我的有限元模型时，信心倍增，确实找到了一些优化计算流程的新思路。

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亏这本书也能进入现代数学丛书的行列，说实话还不如市面上一些低分的矩阵论教材写得好

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亏这本书也能进入现代数学丛书的行列，说实话还不如市面上一些低分的矩阵论教材写得好

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太干巴，矩阵理论只有甘特马赫尔写的最好

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