理论力学（上册） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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isbn号码:9787560822365

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高级应用数学与计算方法 —— 深入解析现代科学与工程中的核心工具 本书特色： 本书旨在为理工科高年级本科生、研究生以及科研人员提供一套全面、深入且具有前瞻性的高级数学与计算方法基础。内容涵盖了构建现代科学理论和解决复杂工程问题所必需的数理工具箱，重点强调理论的严谨性与实际应用的有效性相结合。不同于侧重于基础概念的入门教材，本书将理论推导与前沿计算技术紧密融合，旨在培养读者独立分析和解决复杂科学问题的能力。 --- 第一部分：泛函分析基础与算子理论 (Fundamentals of Functional Analysis and Operator Theory) 本部分为深入理解无穷维空间中问题提供了必要的数学框架。我们将从严格的拓扑线性空间出发，逐步建立巴拿赫空间和希尔伯特空间。 第一章：拓扑向量空间与度量空间回顾 1.1 拓扑结构与收敛性：滤子、序列收敛与拓扑的等价性。 1.2 赋范向量空间：范数的性质、等距同构。 1.3 完备性： ബ拿赫空间 (Banach Spaces) 的构建，不动点定理（巴拿赫不动点定理）的严格证明及其在微分方程中的应用（如存在性与唯一性证明）。 1.4 希尔伯特空间 (Hilbert Spaces)：内积的引入，正交性在函数空间中的重要性，Riesz 表示定理的详述。 第二章：线性算子与有界性 2.1 有界线性算子：算子范数、连续性与有界性的等价性。 2.2 闭图像定理（Closed Graph Theorem）与开映射定理（Open Mapping Theorem）：在函数空间上的精确应用与物理意义的探讨。 2.3 Hellinger-Toeplitz 定理及其在边界条件分析中的作用。 2.4 谱理论的初步介绍：算子的谱集的定义，谱半径公式的推导。 第三章：测度论与勒贝格积分（为深入理解 $L^p$ 空间做准备） 3.1 $sigma$-代数与可测集：构造性方法与反例。 3.2 勒贝格测度的定义与性质：与长度、面积、体积测度的关系，可测函数的定义。 3.3 勒贝格积分：单调收敛定理、有界收敛定理、Fatou 引理的严格证明及其在概率论和泛函分析中的核心地位。 3.4 $L^p$ 空间：Minkowski 不等式，Riesz-Fischer 定理（完备性证明）。 --- 第二部分：偏微分方程的变分法与正则性 (Variational Methods and Regularity for PDEs) 本部分聚焦于使用能量最小化原理（变分法）来处理和求解描述物理系统的偏微分方程 (PDEs)，这是现代物理学和工程仿真（如有限元法基础）的核心方法。 第四章：Sobolev 空间与弱解 (Sobolev Spaces and Weak Solutions) 4.1 弱导数的引入：动机与定义，与经典导数的对比。 4.2 Sobolev 空间的构造：$W^{k,p}$ 空间，嵌入定理（如 Sobolev 不等式）的细致推导。 4.3 迹定理（Trace Theorems）：函数在边界上的定义与分析。 4.4 椭圆型方程的弱形式：拉普拉斯方程 ($Delta u = 0$) 和泊松方程 ($Delta u = f$) 的变分表述。 第五章：变分原理与能量最小化 5.1 泛函的变分：Gâteaux 导数与 Fréchet 导数。 5.2 欧拉-拉格朗日方程（Euler-Lagrange Equations）：从最小作用量原理出发的推导。 5.3 椭圆型算子的基本模型：Dirichlet 问题的变分结构分析。 5.4 Lax-Milgram 定理：确保弱解存在性和唯一性的核心工具，详细分析其所需的条件（一致性、连续性、强制性）。 第六章：正则性理论 6.1 强解与弱解的关系：在何种条件下，弱解是经典意义上的光滑解。 6.2 内在正则性：解的内部行为分析，Schauder 估计的概述。 6.3 边界正则性：边界光滑性对解的影响。 6.4 实例分析：稳态传热问题（Poisson 方程）和弹性力学中的位移问题。 --- 第三部分：数值分析与计算方法 (Numerical Analysis and Computational Methods) 本部分将理论基础转化为可操作的数值算法，重点关注现代科学计算中处理连续问题的离散化技术。 第七章：线性系统的数值求解 7.1 矩阵分解与稳定性：LU、Cholesky 分解的误差分析。 7.2 迭代法：雅可比（Jacobi）、高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）方法的收敛性分析。 7.3 Krylov 子空间方法：Arnoldi 迭代和 Lanczos 迭代的原理，GMRES 和共轭梯度法 (CG) 的深入剖析及其在大型稀疏系统中的优势。 第八章：函数逼近与插值 8.1 多项式插值：牛顿插值、Lagrange 插值的局限性。 8.2 分段插值：样条插值（Cubic Splines）的构造与最优性。 8.3 最佳一致逼近：Chebyshev 多项式在最小化最大误差中的作用。 8.4 傅里叶级数与快速傅里叶变换 (FFT)：在周期性问题和信号处理中的应用。 第九章：微分方程的数值方法 9.1 常微分方程 (ODEs) 的离散化：单步法（欧拉法、Runge-Kutta 法）的稳定性和收敛性（A-稳定性、$B$-稳定性概念）。 9.2 偏微分方程的离散：有限差分法 (FDM) 的网格剖分、截断误差分析，处理非结构化网格问题的挑战。 9.3 有限元方法 (FEM) 概述：形函数（Basis Functions）的选择，刚度矩阵和载荷向量的构建，与变分法的内在联系。 --- 目标读者： 本书要求读者已具备扎实的微积分、线性代数和经典力学基础（如经典力学中对力、位移、能量的概念掌握）。通过本书的学习，读者将能够熟练运用高级分析工具来处理从量子力学到流体力学、从材料科学到金融工程中遇到的复杂数学模型，并理解其背后的数值稳定性与计算效率问题。本书内容深度接近研究生的专业基础课程，适合作为深入研究或工程应用的桥梁。

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