全国高等师范专科学校教材·解析几何与线性代数 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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页数:164

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出版时间:1998-1

价格:5.50元

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isbn号码:9787560203928

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• 解析几何
• 线性代数
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• 专科教材
• 数学
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• 高等教育
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• 解析几何与线性代数
• 数学基础

代数与几何的交汇：现代数学基础的深度探索 本书旨在为高等院校理工科学生提供一个全面且深入的代数与几何基础知识体系。我们聚焦于那些支撑起现代科学与工程学科的核心数学工具，力求在概念的严谨性与实际应用的可操作性之间找到最佳平衡点。全书内容涵盖了对传统解析几何中核心思想的现代化阐释，以及对线性代数这一强大抽象工具的系统性构建。 第一部分：解析几何的现代视阈 解析几何，作为连接几何直觉与代数运算的桥梁，在本部分得到了深入的挖掘与重构。我们摒弃了仅停留在平面和三维空间解析表示的初级阶段，而是将其提升至更高维度的向量空间框架下进行审视。 第一章：空间几何基础与坐标变换 本章首先回顾了欧几里得空间中的基本概念，包括点、向量、距离、角度的定义。重点在于空间坐标系的建立与选择对几何描述的影响。我们详细讨论了从笛卡尔坐标系到更具描述性的斜角坐标系，乃至正交变换下的坐标系旋转问题。 向量代数与几何意义的统一： 向量的加减法、数乘操作的几何直观表示，以及内积（点积）如何精确量化角度和投影，外积（叉积）在确定平面法向量和力矩中的不可替代性。 二次型与二次曲面的分类： 这是解析几何的核心难点之一。我们采用特征值分解的视角来处理二次型 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$。通过正交变换，将任意二次曲面（如椭球面、双曲面、抛物面）化为标准形式，揭示其内在的对称性和几何本质，避免了繁琐的配方法求解过程。我们详细分析了二次型在不同惯性主轴下的几何形态。 第二章：曲线与曲面的微分几何初步 为了理解空间中运动和形变，我们需要引入微积分的工具。本章将解析几何的静态描述过渡到动态描述。 曲线的参数方程与自然参数化： 引入弧长、切向量、主正切、主法向量和次法向量，构筑弗雷内-塞尔塞（Frenet-Serret）公式，精确描述三维空间中曲线的弯曲和扭转程度（曲率与挠率）。这为研究约束运动和路径优化提供了数学基础。 曲面的第一、第二基本形式： 引入曲率的概念来量化曲面在不同方向上的弯曲程度，如高斯曲率和平均曲率。这不仅是描述曲面局部形状的关键，也是曲面理论（如测地线理论）的起点。 --- 第二部分：线性代数的抽象构建与应用 线性代数是现代数学的基石，其核心在于处理线性关系和高维空间的结构。本部分内容侧重于理论的严谨性推导和向量空间概念的推广。 第三章：向量空间与线性映射的代数基础 本章构建了线性代数的抽象框架，这是理解所有后续内容的前提。 向量空间的公理化定义： 从数域（实数域 $mathbb{R}$ 或复数域 $mathbb{C}$）出发，严格定义向量空间、子空间、线性组合、线性无关性、基和维数。通过具体的例子（如多项式空间、函数空间）来巩固抽象概念。 线性映射与矩阵表示： 线性映射（或称线性变换）是连接不同向量空间的桥梁。我们深入探讨了核空间（Kernel）和像空间（Image）的性质，特别是它们与秩定理（Rank-Nullity Theorem）的关系。重点在于理解：矩阵是特定基下线性变换的“快照”。 第四章：矩阵代数、行列式与方程组 本章回归到最实用的矩阵运算及其背后的几何意义。 行列式的构造与性质： 行列式不仅仅是计算工具，它衡量了线性变换对体积（或面积）的缩放因子。我们从代数定义出发，推导出其几何意义，并讨论其在求解线性方程组和逆矩阵中的作用。 线性方程组的求解理论： 基于高斯消元法（行阶梯形）的算法，我们系统地阐述了线性方程组解的存在性和唯一性条件，即增广矩阵的秩与系数矩阵的秩的关系。 第五章：特征值、特征向量与相似性 本章是深入理解线性代数复杂应用的关键，它揭示了线性变换在特定方向上仅发生缩放而不改变方向的特性。 特征分解与对角化： 求解特征值和特征向量，理解它们如何揭示矩阵的本质。讨论了矩阵可对角化的充要条件——线性无关的特征向量的存在性。 相似变换与矩阵的规范形： 矩阵的相似变换保持了线性变换的本质不变性。我们引入Jordan标准型（若矩阵不可对角化），它是在复数域上对矩阵进行“最简化”表示的终极工具，对求解高阶微分方程和稳定性分析至关重要。 第六章：内积空间与正交性 将向量空间提升到具有“长度”和“角度”概念的内积空间，使得几何直觉得以回归。 内积、范数与角度： 在一般向量空间上定义内积，导出范数（长度）和正交性概念。 正交基与最小二乘法： 通过Gram-Schmidt正交化过程，我们构建了欧几里得空间中的标准正交基。正交投影的概念直接导出了最小二乘法，这是处理超定（冗余信息过多）线性方程组，实现数据拟合和误差最小化的核心技术。 对称矩阵的谱定理： 这是一个极其优美的定理，它证明了实对称矩阵总可以通过正交矩阵对角化，这直接解释了第一部分中二次曲面可以被正交变换化为标准型的深层代数原因。 总结 本书通过对解析几何的现代提升和线性代数的严谨构建，为读者提供了一套融汇几何直觉与代数严谨性的数学思维工具。掌握这些内容，不仅能扎实完成后续的微分方程、概率论与数理统计等课程的学习，更能为信号处理、机器学习、优化理论等前沿领域打下坚实的理论基础。全书注重概念间的内在联系，旨在培养读者从具体问题中抽象出线性结构的分析能力。

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