An introduction to ordinary differential equations--常微分方程导论(英文原版进口) pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:Dover Publications

作者:Earl A. Coddington.

出品人:

页数:0

译者:

出版时间:1961-01-01

价格:117.1

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isbn号码:9780486659428

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深入理解动力系统的基石：流体力学、热力学与控制论中的微分方程应用 本书旨在为读者提供一个全面且深入的视角，探讨常微分方程（ODE）在现代科学与工程，特别是流体力学、热力学以及复杂系统控制论中的核心地位与实际应用。我们侧重于从物理和工程的直观理解出发，构建严谨的数学模型，而非仅仅停留在抽象的纯数学理论层面。本书的叙述风格力求清晰、逻辑严密，同时兼顾理论的深度与实例的广度。 第一部分：物理系统的建模与基础理论的重构 本部分将系统地回顾并扩展读者对经典物理定律中微分方程起源的理解。我们将从最基本的守恒定律——质量守恒、动量守恒和能量守恒出发，建立起描述宏观物理现象的基础方程组。 第一章：连续介质的描述：从粒子到场 流体力学是常微分方程最丰饶的应用领域之一。本章将深入剖析牛顿第二定律在连续介质中的体现，即纳维-斯托克斯（Navier-Stokes, N-S）方程组。我们不会将N-S方程视为既定的黑箱，而是通过详细推导其在不可压缩、粘性流体中的简化形式，例如斯托克斯流动（Stokes Flow）和雷诺数（Reynolds Number）的物理意义。重点在于理解压力梯度项、粘性项和惯性项之间的动态平衡。此外，对于边界层理论的引入，将展示如何利用渐近分析（Asymptotic Analysis）处理高雷诺数下的奇异摄动问题，这是理解空气动力学和水动力学问题的关键。我们将探讨诸如管道中的充分发展流动（Fully Developed Flow）这类基础问题的ODE解法。 第二章：热力学驱动的演化方程 热力学过程的描述本质上就是微分方程的应用。本章聚焦于描述能量传递和相变的ODE系统。我们将从傅里叶导热定律出发，推导一维瞬态热传导方程的常微分形式（例如，在有限长杆上的温度分布），并结合热容与热阻的概念，构建描述RC电路或简单冷却过程的线性一阶ODE。更进一步，我们将分析涉及化学反应速率的非线性ODE系统，如自催化反应或振荡反应（例如洛特卡-沃尔泰拉捕食者-猎物模型在生态学中的应用，尽管此处我们将其置于热力学背景下讨论能量耗散与平衡态的形成）。重点在于识别保守系统（如绝热过程）与耗散系统（如不可逆过程）的数学特征差异。 第二部分：定性分析与稳定性理论的工程视角 理论求解常微分方程在工程实践中往往难以实现，尤其对于非线性系统。因此，本部分将重心转向定性分析工具，这对于预测系统长期行为至关重要。 第三章：相平面分析与极限环 对于二阶或可降阶为二阶的系统，相平面分析提供了强大的几何洞察力。本章将详细讲解如何构造相平面，识别鞍点、节点、焦点和中心。对于工程中常见的阻尼振荡系统（如二阶弹簧-阻尼器系统），我们将通过改变阻尼系数来观察相轨迹如何从稳定的焦点演化到极限环（Limit Cycles）。我们将引入庞加莱-利昂哈特（Poincaré-Bendixson）定理的直观理解，用以证明极限环的存在性，这在周期性负载或振动控制中具有直接意义。 第四章：稳定性理论的判据：李雅普诺夫的视角 稳定性是控制工程和动力学系统的核心概念。本章将系统介绍李雅普诺夫（Lyapunov）方法，这是分析非线性系统稳定性的黄金标准。我们将区分局部稳定性和全局稳定性。除了李雅普诺夫第一法（线性化方法）外，我们将重点探讨李雅普诺夫第二法——构造李雅普诺夫函数。通过具体的例子，如机械臂的能量函数或简化的电力系统模型，演示如何构造恰当的能量函数来证明平衡点的渐进稳定性和指数稳定性，从而避免进行复杂的解析求解。 第三部分：工程控制与系统响应 常微分方程直接构成了反馈控制理论的数学基础。本部分将展示如何利用ODE解法来设计和分析控制系统。 第五章：线性定常系统的解法与传递函数 对于线性常微分方程（LTI系统），我们将回顾拉普拉斯变换（Laplace Transform）作为求解ODE的强大工具。我们将重点讨论其在系统响应分析中的作用，特别是如何通过系统的零输入响应（Zero-Input Response）和零状态响应（Zero-State Response）来理解系统的固有特性。随后，我们将引入传递函数（Transfer Function）的概念，将其作为连接时域ODE描述与频域分析的桥梁，这对于滤波器设计和控制器的性能评估至关重要。 第六章：最优控制与摄动理论的初步接触 在现代工程中，系统性能的优化是关键目标。本章将对最优控制问题进行初步介绍，重点在于理解变分法（Calculus of Variations）在推导欧拉-拉格朗日方程时的作用。我们将探讨一个基础的能量最小化问题（例如，使系统以最快速度到达目标位置而不超过能耗限制）。最后，对于那些具有小参数项的系统（例如，考虑微小扰动或高频噪声影响的系统），我们将引入平均场理论（Method of Averaging）作为处理摄动微分方程的有效手段，展示如何通过平均化方程来揭示系统的慢演化规律，这是理解复杂系统长期行为的必要步骤。 本书的目标读者是具备微积分和基础线性代数知识的工程专业学生、物理学研究人员以及希望将数学工具应用于实际物理问题的工程师。通过对这些核心主题的深入探讨，读者将能够熟练地将物理现象转化为数学模型，并运用现代分析技术预测和控制这些系统的行为。

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