具體描述
An elementary text that can be understood by anyone with a background in high school geometry, this text focuses on the problems inherent to coloring maps, homeomorphism, applications of Descartes' theorem, and topological polygons. Considerations of the topological classification of closed surfaces cover elementary operations, use of normal forms of polyhedra, more. Includes 108 figures. 1967 edition.
好的，這是一本關於拓撲學中代數拓撲分支的專著的詳細圖書簡介，聚焦於同調理論和同倫理論的基礎概念，旨在為研究生和高年級本科生提供一個嚴謹而清晰的入門。 --- 拓撲學中的結構：代數方法導論 作者： [此處留空，以模擬專業書籍的格式] ISBN： [此處留空] 齣版商： [此處留空] 導言：幾何的量化與不變性 本書旨在係統地介紹代數拓撲學的核心概念和工具，這是一門利用代數結構——特彆是群、環和模——來研究拓撲空間性質的數學分支。拓撲學關注的是在連續形變下保持不變的性質，而代數拓撲學的根本目標是將這些幾何直覺轉化為可以精確計算和操縱的代數不變量。本書著重於從最基礎的視角，深入探討同調論和同倫論兩大支柱。 我們相信，理解拓撲空間的“洞”和“連通性”的最佳途徑，是通過構建能夠對這些特徵進行量化的代數結構。本書的敘述力求嚴謹，同時兼顧直觀的幾何動機，確保讀者能夠從具體的例子中逐步過渡到抽象的理論框架。 第一部分：基礎與預備知識 本書的開篇部分迴顧瞭必要的拓撲學基礎知識，包括一般拓撲空間、連續映射、緊緻性、連通性以及基本概念如連續形變和形變收縮（deformation retraction）。隨後，我們引入瞭構建代數不變量的必要工具： 範疇論的初步接觸： 我們將簡要介紹範疇、函子以及自然變換的概念，這對於理解同調和同倫構造如何將拓撲信息“翻譯”成代數對象至關重要。 鏈復形與鏈同調： 這是後續所有構造的基石。我們將詳細介紹鏈復形的概念，特彆是邊界算子（boundary operators）的性質，以及如何定義同調群 $H_n(C_ullet)$。我們強調，同調群捕捉瞭鏈復形中“循環”（cycles）與“邊界”（boundaries）之間的關係，這在幾何上對應於空間的“洞”。 第二部分：基本同調理論——奇異同調 本部分是全書的中心，緻力於構建和分析奇異同調群（Singular Homology Groups），這是研究拓撲空間結構最強大和最通用的工具之一。 奇異單純形與鏈群： 我們精確定義瞭奇異 $n$-單形 $sigma: Delta^n o X$ 及其綫性組閤構成的鏈群 $C_n(X)$。通過嚴謹的定義，我們展示瞭鏈復形 $C_ullet(X)$ 的存在性。 同調群的構造與性質： 奇異同調群 $H_n(X)$ 的構造基於邊界算子的核與像，即 $H_n(X) = ext{Ker}(partial_n) / ext{Im}(partial_{n+1})$。我們將詳細證明這些群是拓撲空間 $X$ 的不變量，這意味著任何拓撲等價的映射都會誘導齣同構的同調映射。 基本定理的證明： 1. 同倫不變性： 我們將詳細證明如果兩個映射是同倫的，它們誘導的同調映射是相同的。這是代數拓撲的核心保證。 2. 邁耶-維托裏斯序列（Mayer-Vietoris Sequence）： 作為一個強大的計算工具，我們將使用其定義和性質來演示如何將復雜空間的同調分解為子空間的同調。我們將用這個序列計算球麵 $S^n$ 的同調群，以及楔乘（wedge sums）和紐結（knots）的同調。 3. 相對同調： 引入相對鏈群 $C_ullet(X, A)$ 和相對同調群 $H_n(X, A)$，這對於處理“帶邊界的空間”和截斷空間至關重要。 係數域的擴展： 我們探討瞭利用不同的係數域（如 $mathbb{Z}_p$）進行計算的重要性，並簡要介紹瞭張量積和 $ ext{Ext}$ 函子在處理非自由阿貝爾群同調時的作用。 第三部分：同倫理論的開端 在完成對同調這一“綫性”不變量的係統研究後，本書轉嚮瞭對拓撲空間“非綫性”結構——同倫群的探討。 基本群（Fundamental Group）： 作為零階同倫群的推廣，我們將詳細介紹基本群 $pi_1(X, x_0)$。我們定義路徑、路徑乘法和同倫的嚴格概念。 1. 計算實例： 我們將計算 $mathbb{R}^n$ 和圓周 $S^1$ 的基本群，並展示 $pi_1(S^1) cong mathbb{Z}$ 的經典證明（利用覆疊空間理論或利用群論中的生成元和關係）。 2. 伴隨同態： 我們展示如何從一個映射 $f: X o Y$ 導齣 $pi_1(X) o pi_1(Y)$ 的同態，並討論其與同調群的聯係（歐拉示性數的微小體現）。 高階同倫群： 接著引入高階同倫群 $pi_n(X, x_0)$ 的定義，這些群是利用 $n$-球麵 $S^n$ 到 $X$ 的映射來定義的。 縫閤與連接： 我們將討論高階同倫群的阿貝爾性質，並引入Hurewicz同態，這是一個將同倫信息映射到同調信息的橋梁： $$h: pi_n(X) o H_n(X; mathbb{Z})$$ 本書將證明 Hurewicz 定理的初級形式，闡明在某些條件下（例如當所有較低階同倫群為零時），第一個非零的同倫群與其對應的同調群之間的關係。 第四部分：構造性方法與應用 為瞭補充理論框架，本書最後探討瞭兩種重要的構造性拓撲工具：細胞同調和覆蓋空間。 細胞鏈復形： 對於由有限個細胞（如立方體或球殼）粘閤而成的空間（CW復形），奇異同調的計算極其復雜。我們引入細胞鏈復形 $C_ullet(X; R)$，這是一個更易於處理的鏈復形，並證明瞭在係數域 $R$ 下，細胞同調群同構於奇異同調群，極大地簡化瞭計算。我們將用此方法精確計算環麵 $T^2$ 和射影平麵 $mathbb{RP}^2$ 的同調群。 覆蓋空間與基本群： 覆蓋空間理論提供瞭理解基本群的強大幾何視角。我們將定義局部常域和覆疊映射，並利用這些概念來更深入地理解基本群的結構，例如，如何通過選擇不同的提升路徑來生成不同的基本群元素。 結論與展望 本書提供瞭一個堅實的基礎，使讀者能夠獨立掌握代數拓撲學的核心計算技巧和理論框架。通過對同調和同倫的深入剖析，讀者將獲得一套強大的數學工具，用於識彆和區分拓撲空間。後續的研究方嚮，如譜序列、縴維叢、特徵類或更高級的代數 K 理論，均可在此基礎上進一步探索。本書旨在培養讀者將復雜的幾何問題轉化為可操作的代數問題的能力。 目標讀者： 拓撲學研究生、數學係高年級本科生，以及任何需要嚴謹代數工具來解決幾何問題的研究人員。 ---
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