Matrix Vector Analysis pdf epub mobi txt 电子书 下载 2026

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出版者:

作者:Eisenman, Richard

出品人:

页数:320

译者:

出版时间:2005-3

价格:$ 21.41

装帧:

isbn号码:9780486441818

丛书系列:

图书标签:

• 线性代数
• 矩阵分析
• 向量分析
• 数值分析
• 数学
• 高等数学
• 工程数学
• 科学计算
• 矩阵论
• 优化算法

《线性代数基础与应用：从理论到实践的深度解析》 图书简介 本书旨在为读者提供一套全面、深入且循序渐进的线性代数学习体验，重点关注该学科的核心理论构建、严谨的数学证明，以及其在现代科学与工程领域中的广泛应用。本书的撰写严格遵循数学学科的逻辑严密性，力求在概念的清晰阐述与问题的解决能力培养之间取得完美的平衡。 第一部分：向量空间与基础结构 本书首先从最基本的概念入手，详细阐述了向量空间（Vector Spaces）的严格定义，包括其封闭性、零向量与负向量的存在性等公理化基础。我们深入探讨了子空间（Subspaces）、生成集（Spanning Sets）以及线性无关性（Linear Independence）的概念。线性无关性是理解系统维度与信息冗余的关键，本书通过大量的几何直观和代数验证，确保读者能牢固掌握此基石。 随后，章节将重点聚焦于基（Basis）与维度（Dimension）。我们将清晰区分“基”作为一组最小生成集的重要性，并展示如何利用基向量来唯一地表示空间中的任何向量。维度作为向量空间大小的度量，其计算和性质将在多个维度上进行剖析。 第二部分：线性映射与矩阵表示 线性代数的核心在于研究向量空间之间的结构保持变换，即线性映射（Linear Transformations）。本书详细定义了线性映射的性质，并着重阐释了其与矩阵的深刻联系。每一个有限维线性映射都可以被表示为一个特定的矩阵，这一“表示”过程是连接抽象概念与具体计算的桥梁。 我们随后深入研究了矩阵的零空间（Null Space，或核）和值域（Range，或像）。零空间揭示了变换如何将非零向量映射到零向量（即变换的“陷阱”），而值域则描述了变换能够触及到的所有输出空间。通过秩-零化度定理（Rank-Nullity Theorem），我们揭示了维度之间精妙的平衡关系。 矩阵的初等行变换（Elementary Row Operations）是进行实际计算的基石。本书会系统地展示如何利用这些变换来求解线性方程组、求矩阵的秩，以及计算逆矩阵。高斯消元法（Gaussian Elimination）和LU分解的理论推导与实际操作步骤被细致地分解和解析。 第三部分：行列式——空间形变的几何度量 行列式（Determinants）作为描述方阵特性的一个标量值，在本学科中具有不可替代的地位。本书不仅给出了行列式的代数定义（基于置换的Leibniz公式），更侧重于其几何意义：行列式的值代表了线性变换对面积或体积的缩放因子，并且其符号指示了方向的保持或反转。我们详细分析了行列式的代数性质，例如与行变换的关系，并展示了如何利用行列式来判断矩阵的满秩性与可逆性。克莱姆法则（Cramer's Rule）作为一种基于行列式的解法，也将被纳入讨论范围，但重点会放在其理论意义而非大规模计算效率上。 第四部分：特征值、特征向量与对角化 本部分是深入理解线性系统动力学行为的关键。特征值（Eigenvalues）与特征向量（Eigenvectors）的引入，帮助我们将复杂的线性变换分解为在特定方向上仅仅进行拉伸或压缩的简单操作。特征向量是“不变方向”的代表，特征值是对应的“缩放因子”。 本书将详尽地介绍如何通过求解特征多项式来找到这些值和向量。随后，我们将探讨矩阵的对角化（Diagonalization）。一个可对角化的矩阵意味着存在一个基，使得变换在该基下的表示矩阵成为一个对角矩阵，这极大地简化了矩阵幂次的计算，对于分析离散时间系统（如迭代过程或马尔可夫链）至关重要。 此外，对于不可对角化的情形，本书将引入若尔当标准型（Jordan Canonical Form）的概念，作为处理所有方阵的一种更普适的分解方法，尽管这部分内容在计算上较为复杂，但其理论完整性不容忽视。 第五部分：内积空间与正交性 从纯代数结构转向具有度量结构的内积空间（Inner Product Spaces）是连接几何直觉的又一步骤。本书定义了内积、范数（Norm）和角度的概念，使我们能够在抽象向量空间中讨论“长度”和“垂直性”。 正交性（Orthogonality）是本节的重中之重。我们将介绍Gram-Schmidt正交化过程，用于构造向量空间的一组标准正交基。正交基的优势在于计算上的简便性，例如向量投影的计算会变得异常直接。 对于对称矩阵（Symmetric Matrices），本章将利用正交对角化的理论，证明其具有实数特征值和正交特征向量，这在最小二乘问题和主成分分析（PCA）的理论基础中起着核心作用。 第六部分：应用深化——最小二乘与奇异值分解 在本书的收尾部分，我们将线性代数的理论工具应用于实际问题。我们将探讨线性最小二乘法（Least Squares Approximation），它用于解决超定（Overdetermined）线性方程组，即在数据噪声环境下寻找“最佳拟合”解。这涉及对法方程（Normal Equations）的推导与求解。 最后，本书将系统地介绍奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）。SVD被誉为线性代数中最强大的分解工具之一，它适用于任何矩阵（不必是方阵或可逆矩阵）。我们将揭示SVD与特征值分解的联系，并展示其在数据压缩、图像处理、主成分分析（PCA）等现代数据科学领域中无可替代的地位。SVD的几何解释——将任意线性变换分解为旋转、缩放和平移的组合——将被细致地阐述。 全书配备了大量的例题、习题，旨在培养读者的抽象思维能力和解决实际问题的能力，是数学、物理、工程学、计算机科学及经济学等领域学生与研究人员的理想参考书。本书的叙述风格严谨而清晰，避免了过于口语化的表达，强调数学的精确性与普适性。

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